如何在两变量之和大于0的区域内均匀采样两个随机变量

你设计的条件采样逻辑会导致联合概率密度随x变化，并非常数，因此出现分布不均的问题：

• 原方案中X服从U(-1,1)，边缘密度为f_X(x)=1/2
• 给定x时Y的条件采样区间长度为1 - (-x) = 1+x，因此条件密度为f_{Y|X}(y|x) = 1/(1+x)
• 联合密度为两者乘积：f(x,y) = 1/(2(1+x))，该值随x增大而减小，和你观察到的「左密右疏」现象完全吻合

你原方案的采样结果如下图所示，分布不均的特征和推导的密度变化完全对应：

方案1：拒绝采样（实现最简单） #

直接在更大的正方形区域采样，丢弃不符合条件的样本，拒绝率仅50%，绝大多数场景下足够高效：

• 独立采样 X ~ U(-1, 1)、Y ~ U(-1, 1)
• 若满足 X + Y > 0 则保留样本，否则重复采样步骤

方案2：逆变换采样（无拒绝，效率100%） #

通过调整X的采样分布，保证联合密度为常数，适合需要严格控制采样次数的场景：

1. 先采样均匀随机数 u ~ U(0, 1)
2. 转换得到X的取值：x = 2 * sqrt(u) - 1（由X的边缘分布CDF求逆得到）
3. 再在给定x的条件下采样Y：Y ~ U(-x, 1)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者krishna