Mathematica求解隐函数方程组出现仅满足单方程异常解问题咨询

异常解产生原因 #

• Solve在求解含分式的方程时，会先通过通分操作消去所有分母，将原方程转化为整式多项式方程求解，这个过程会天然引入增根：即满足整式方程，但会让原方程某一分母为0、或代入原方程等式不成立的解。你得到的负T、负p解就是典型的增根，代入方程1的分式项会发现分母数值趋近于0，存在数值奇异，因此不满足原方程的等式关系，这也是你把负T代入方程1用FindRoot求解得到的p值和Solve输出不一致的原因。
• Mathematica的Solve默认在复数域内求解所有数学上可能的解，不会自动过滤不符合实际物理意义（如温度T、压力p为正）或原方程定义域的解，因此会输出这组无效解。

你可以通过两种方式避免无效解：

1. 求解时直接增加定义域约束：把Solve[方程1 && 方程2, {p,T}]修改为Solve[方程1 && 方程2 && T>0 && p>0, {p,T}]，就能直接得到有效正解
2. 得到所有解后做校验：把每组解代入原方程组，计算左右残差，过滤掉残差大于1e-6的无效解即可。

p=A/T曲线锯齿状成因 #

该现象是绘图时采样点不足导致的：p=A/T属于反比例函数，当T取值接近0时，函数值的变化速率会急剧升高，且跨越正负区间时会出现从负无穷到正无穷的跳变。如果使用默认的Plot采样参数，采样点密度不足以覆盖这种极速变化的区间，相邻采样点之间的线性插值就会呈现锯齿状。

解决方法：

• 若T本身是具有正物理意义的参数，直接将绘图区间限定为T>0，避开跳变区域
• 给Plot函数增加PlotPoints->200（可根据效果调整数值）参数，提高采样密度，就能消除锯齿。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fatpandabot