MPFR/MPFI下非负项幂级数及导数计算的求和终止条件判定

可行的停止判据方案 #

你用MPFI区间算术的前提下，完全可以用余项上界估计+区间宽度校验的方案，比你提到的相邻部分和比较的方案可靠得多，也不会浪费计算资源：

1. 先对导数后的级数做重编号：令 k = n - m，级数可改写为 series(h,m) = sum_{k=0}^∞ t_k，其中所有项 t_k ≥ 0，部分和严格单调递增收敛到真值。
2. 不要硬算每一项的表达式，推导相邻项的递推关系：t_{k+1} = t_k * r_k，其中 r_k 是相邻项比值，可通过 a(n) 的定义和排列数的性质化简得到，数值上恒小于1。
3. 每累加完第k项后，计算剩余无穷项的上界：因为r_k < 1，剩余余项和 R_k = sum_{i=k+1}^∞ t_i < t_{k+1}/(1 - r_k)，是等比级数的上界。
4. 此时真值必然落在区间 [S_k, S_k + R_k] 内，用MPFI表示这个区间后，只要区间宽度小于 2^{-(p+32)} * max(|S_k|, MPFR最小正浮点数)，就说明已经满足p+32位的精度要求，直接停止累加即可。
5. 最后把区间结果舍入到p位输出，因为真值完全被区间包裹，且区间宽度小于1个p+32位的最小精度单位，忠实舍入的要求完全可以满足。

你提到的四步策略的问题 #

这个策略存在可靠性缺陷：当级数收敛较慢（比如h接近1）时，相邻两项的差可能已经小于p+32位的舍入阈值，但剩余无穷余项的总和仍可能大于p+32位的最小精度单位，此时提前停止会导致结果精度不足，无法满足忠实舍入要求。

关于你提到的项数上界的问题 #

不需要提前计算固定的项数上界，上面的递推余项估计是边算边做的，当h接近0时，r_k会非常小，余项会快速收敛到阈值以下，自动减少需要计算的项数，不会出现h=1最坏情况假设带来的资源浪费。
工作精度不需要设到p*4，仅需设置为p+40左右，比目标精度多留8位余量覆盖舍入误差和余项估计的误差即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user2373145