《Think Bayes》随机应答场景偷税人群占比Posterior distribution求解
2026-10-7
随机应答调查下偷税人群占比的后验分布计算结果
核心参数定义
- p：真实存在偷税漏税行为的人群占比，取值范围为[0,1]，是本次求解的目标参数
- 单次抛公平硬币得到正面/反面的概率均为0.5
应答概率推导
根据规则，受访者只有同时满足「抛硬币得到反面」+「自身无偷税漏税行为」两个条件时才会回答NO，其余情况均回答YES：
- 单样本回答NO的概率：
P(NO) = 0.5 * (1-p) - 单样本回答YES的概率：
P(YES) = 1 - P(NO) = 0.5 * (1 + p)
似然函数与后验分布
本次观测到100份有效回复中含20个NO、80个YES，采用比例参数常用的无信息均匀先验（即Beta(1,1)先验），根据贝叶斯公式，后验分布正比于似然函数：
后验分布核：
P(p|观测数据) ∝ [P(NO)]^20 * [P(YES)]^80 = (1-p)^20 * (1+p)^80
该后验分布的支撑区间为[0,1]，属于非标准Beta分布，可通过MCMC等方法完成采样得到完整分布形态。
后验众数求解
后验众数是使后验概率密度最大的p值，对对数似然函数求导并令导数为0即可求解：
- 对数似然函数（忽略不影响极值计算的常数项）：
lnL(p) = 20 * ln(1-p) + 80 * ln(1+p) - 对p求导并令导数为0：
-20/(1-p) + 80/(1+p) = 0 - 解方程得：
p = 0.6
即偷税人群占比的最可能取值为60%。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sanjay Verma
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