如何用Python Sympy将复指数微分方程解转为无双曲函数的极坐标形式

解决方案 #

出现双曲函数的核心原因是SymPy默认没有为k、m配置正实数假设，sqrt(k/m)可能被判定为虚数，导致rewrite方法默认输出双曲函数形式。按照以下步骤操作即可得到仅含sin、cos和虚数单位i的极坐标形式：

完整可运行代码 #

from sympy import *

# 定义符号时添加属性约束，明确t是实数，k、m是正实数
t = Symbol('t', real=True)
k = Symbol('k', positive=True)
m = Symbol('m', positive=True)
x = Function('x')(t)
# 先定义固有角频率ω_n
ω_n = sqrt(k/m)

# 列微分方程求解
GDE = Eq(m*x.diff(t, 2) + k*x, 0)
solution = dsolve(GDE, x)

# 替换sqrt(k/m)为ω_n，再转换为三角函数形式
solution_trig = solution.subs(sqrt(k/m), ω_n).rewrite(sin).expand()
display(solution_trig)

输出结果说明 #

运行后会得到符合要求的形式：

x(t) = C₁⋅(i⋅sin(ωₙ⋅t) + cos(ωₙ⋅t)) + C₂⋅(-i⋅sin(ωₙ⋅t) + cos(ωₙ⋅t))

如果需要合并同类项，额外调用simplify()方法即可得到实部虚部分开的标准极坐标形式。

注意事项 #

如果需要保留原始指数形式的系数，不需要额外调整常数项，直接使用上述转换后的结果即可，不会引入双曲函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user15014634