能否用拓扑中的紧致性定理证明有序非阿基米德域的存在性

拓扑学中紧致性的标准表述为：若拓扑空间的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称该空间是紧致的。它有一个常用的等价表述：如果一族闭集满足「任意有限个闭集的交集非空」（有限交性质），那么这整族闭集的交集非空。

一阶逻辑的紧致性定理本身就是拓扑紧致性的直接推论：一阶逻辑所有完备理论构成的Stone空间是典型的紧致拓扑空间，逻辑紧致性的结论「任意句子集有模型当且仅当它的所有有限子集有模型」，就是Stone空间满足紧致性的等价闭集有限交性质的直接翻译。

完全可以用拓扑紧致性完成该证明，本质上和逻辑紧致性的证明是同源的，只是从拓扑视角出发推导：

• 构造一阶语言，包含有序域的全部公理，新增常元符号c，再构造句子集 T = {c > n | n 是自然数}（n 对应域中 n 个1相加的项）
• 验证T的所有有限子集都可满足：对任意有限个形如c > n的句子，只要取c为比这些n中最大值大的自然数，就能构造出满足该有限子集的有序域模型。对应到Stone空间中，每个句子对应一个闭开集，有限个句子对应的闭开集交集非空。
• 由Stone空间的拓扑紧致性，满足有限交性质的闭集族整体交集非空，因此T对应的所有闭开集的交集非空，对应存在一个模型满足T的全部句子。
• 该模型是有序域，且存在元素c大于所有自然数，因此是有序非阿基米德域。

本质上你用逻辑紧致性完成的证明，底层逻辑就是调用了Stone空间的拓扑紧致性，二者只是表述维度不同，不存在证明能力的差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RAHUL