已知半径r弦长d的圆弧，求角度α对应点相对弦的高度h

前提变量定义 #

为了避免基准歧义，先统一几何参数规则：

• 弦长为d，圆弧半径为r
• 角度α基准：以「圆心到弦中点的连线」为0度基准线，从基准线向目标点偏转的角度为α
• 高度h定义：圆弧上的点到弦所在直线的垂直距离

计算步骤 #

1. 先算弦心距（圆心到弦的垂直距离）h₀
   根据勾股定理可得：
   h₀ = √(r² - (d/2)²)

2. 代入对应场景公式计算高度

• 日常最常用的**劣弧（小于半圆的弓形弧）**场景，公式为：
  h = r * cosα - h₀
• 优弧（大于半圆的弓形弧）场景，公式为：
  h = r * cosα + h₀

验证示例 #

举半圆场景验证：半径r=2的半圆，弦长等于直径d=4，此时弦心距h₀=√(2² - 2²)=0

• 当α=0（圆弧最高点），代入劣弧公式得h=2*1 - 0=2，和半圆高度一致，符合预期
• 当α=90°（对应弦的两个端点），cos90°=0，得h=0，符合端点在弦上高度为0的预期

注意事项 #

• 代入公式时注意三角函数的单位匹配，用角度计算就把计算器切到角度模式，用弧度计算就先把α转换成弧度值
• 如果你的角度α基准不是弦中垂线，需要先做角度偏移转换，再代入上述公式计算

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