球体中心投影仪投射至球面内壁的矩形投影计算问题咨询

核心思路 #

你之前遇到的极点收缩问题，本质是直接在全局极坐标下加减FOV导致的：全局经度的单位角度对应的球面弧长会随纬度升高而缩短，自然会出现高纬度画面缩小的问题。
最优方案是先在投影仪局部坐标系下完成所有FOV相关的坐标计算，再通过旋转变换转到全局坐标系，完全不受全局坐标极点影响，天然保证任意姿态下相同FOV的画面尺寸一致。

分步实现 #

1. 定义投影仪局部坐标系 #

以投影仪光心为原点：

• 局部Z轴：投影的正中心方向
• 局部X轴：画面水平向右的方向
• 局部Y轴：画面垂直向上的方向

2. 计算局部坐标系下的顶点/采样点 #

分两种情况处理：

普通情况（hFOV < 360°）

先计算四个顶点的局部方向单位向量：

• 水平偏角范围：[-hFOV/2, +hFOV/2]（绕局部Y轴旋转的角度）
• 垂直偏角范围：[-vFOV/2, +vFOV/2]（绕局部X轴旋转的角度）
  四个顶点的局部坐标公式：

x = sin(水平偏角) * cos(垂直偏角)
y = sin(垂直偏角)
z = cos(水平偏角) * cos(垂直偏角)

将上述单位向量乘以球体半径r，即可得到局部坐标系下球面上的顶点坐标。

特殊情况（hFOV = 360°）

此时没有左右侧边，投影区域是上下两个纬圈围成的球面环带：

• 上边缘纬圈垂直偏角固定为+vFOV/2，水平偏角从0°到360°采样
• 下边缘纬圈垂直偏角固定为-vFOV/2，水平偏角从0°到360°采样
  坐标计算复用上面的公式即可。

3. 局部坐标转全局坐标 #

首先构造从局部坐标系到全局坐标系的旋转矩阵：

1. 先计算全局坐标系下的投影中心方向向量：

dir_x = cos(pitch) * cos(yaw)
dir_y = cos(pitch) * sin(yaw)
dir_z = sin(pitch)

2. 计算全局下的局部X轴（右方向）：
   正常姿态下用全局上向量[0,0,1]和投影方向叉乘后单位化即可；如果pitch为±90°（投影方向正对全局极点），直接取右方向为[cos(yaw+90°), sin(yaw+90°), 0]避免奇点。
3. 计算全局下的局部Y轴（上方向）：用投影方向和右方向叉乘后单位化。
4. 把右方向、局部上方向、投影方向作为旋转矩阵的三列，任意局部坐标乘以该矩阵即可得到全局坐标。

4. 边缘圆弧插值 #

所有边缘都是球面大圆弧，直接用球面线性插值（SLERP）即可实现均匀采样：
输入两个端点的单位方向向量a、b，插值系数t∈[0,1]，插值后的单位向量公式：

θ = acos(dot(a, b))
slerp(a,b,t) = (sin((1-t)*θ)/sinθ)*a + (sin(t*θ)/sinθ)*b

如果θ接近0，可直接用线性插值后再单位化简化计算。
hFOV=360°的上下纬圈不需要SLERP，直接绕局部Z轴旋转采样即可。

特殊边界处理 #

• vFOV=180°时，上下边缘的两个顶点会重合为局部Y轴的正负端点，此时投影区域为过投影中心的球面半环，直接删除重合顶点即可。
• 采样精度可根据绘制需求调整，圆弧段采样点越多边缘越平滑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JonB