概率编程问题：计算Houin Kyoma击败Nomu的存活概率并解释示例

问题描述 #

在跨界奇幻宇宙中，Houin Kyoma正和怪物Nomu对战——Nomu能一击秒杀他。Kyoma可以暂停时间恰好M秒，每秒发动一次攻击：

• 普通攻击的攻击力是A，每次攻击会等额减少Nomu的生命值；
• 发动超级攻击的概率是 ( L = \frac{L1}{L2} )，超级攻击的攻击力是 ( A+C )；
• Nomu初始生命值为H，生命值降到0或以下时死亡。

我们需要计算Kyoma成功杀死Nomu并存活的概率：

• 如果完全不可能杀死Nomu，输出RIP；
• 如果可能，输出最简分数形式 ( \frac{p1}{p2} )（要求 ( p1 \leq p2 ) 且两者的最大公约数为1）。

输入格式：

• 第一行是整数T，表示测试用例数；
• 每个测试用例包含空格分隔的整数：A H L1 L2 M C

解题思路 #

先判断杀死Nomu的可能性，再逐步计算对应概率：

1. 可能性判断

   • 最小总伤害：M次全普通攻击，即 ( M \times A )。如果这个值≥H，Kyoma100%能杀死Nomu，概率为1/1；
   • 最大总伤害：M次全超级攻击，即 ( M \times (A+C) )。如果这个值<H，无论怎么攻击都打不死，输出RIP；
   • 介于两者之间时，需要计算至少需要多少次超级攻击才能让总伤害≥H，再计算对应概率。

2. 计算所需最少超级攻击次数k
   设需要k次超级攻击，总伤害满足：
   [
   k \times (A+C) + (M - k) \times A \geq H
   ]
   化简后得到：
   [
   k \times C \geq H - M \times A
   ]
   k必须是非负整数，因此最小值是 ( \lceil \frac{H - M \times A}{C} \rceil )（若 ( H - M \times A \leq 0 )，说明全普通攻击就够了，k=0）。

3. 计算概率并化简
   概率等于“恰好k次超级攻击”到“恰好M次超级攻击”的概率之和：

   • 恰好t次超级攻击的概率是 ( C(M, t) \times (\frac{L1}{L2})^t \times (\frac{L2-L1}{L2})^{M-t} )，其中 ( C(M,t) ) 是组合数（从M次攻击中选t次发动超级攻击的方式数）；
   • 将所有t≥k的概率相加得到总概率；
   • 最后用最大公约数（GCD）将分子分母约分到最简形式。

示例推导（输入：10 33 7 10 3 2） #

代入示例参数：A=10，H=33，L1=7，L2=10，M=3，C=2

步骤1：判断可能性 #

• 最小总伤害：( 3 \times 10 = 30 < 33 )（全普通攻击不够）；
• 最大总伤害：( 3 \times (10+2) = 36 \geq 33 )（全超级攻击可以杀死Nomu）；
  因此存在成功的可能。

步骤2：计算最少需要的超级攻击次数k #

代入公式：
[
k \times 2 \geq 33 - 3 \times 10 = 3
]
即 ( k \geq 1.5 )，k必须是整数，所以最小值是2——Kyoma至少需要发动2次超级攻击才能杀死Nomu。

步骤3：计算总概率 #

我们需要计算“恰好2次超级攻击”和“恰好3次超级攻击”的概率之和：

1. 恰好2次超级攻击的概率
   组合数 ( C(3,2) = 3 )，概率为：
   [
   3 \times (\frac{7}{10})^2 \times (\frac{3}{10})^1 = 3 \times \frac{49}{100} \times \frac{3}{10} = \frac{441}{1000}
   ]
2. 恰好3次超级攻击的概率
   组合数 ( C(3,3) = 1 )，概率为：
   [
   1 \times (\frac{7}{10})^3 = \frac{343}{1000}
   ]
3. 总概率
   两者相加：( \frac{441}{1000} + \frac{343}{1000} = \frac{784}{1000} )

步骤4：约分最简分数 #

计算784和1000的最大公约数：

• 784的因数：( 2^4 × 7^2 )；
• 1000的因数：( 2^3 × 5^3 )；
• 最大公约数是 ( 2^3 = 8 )。

分子分母同时除以8：
[
\frac{784 ÷ 8}{1000 ÷ 8} = \frac{98}{125}
]
这就是示例输出的结果。

代码实现思路（可选） #

如果要写代码实现，核心步骤是：

1. 遍历每个测试用例，先完成可能性判断；
2. 计算最小需要的超级攻击次数k；
3. 用整数存储分子分母（避免浮点数精度问题），累加所有符合条件的概率项；
4. 调用GCD函数约分分子分母，输出结果。

注意：计算组合数时可以用递推或直接计算，Python的int类型天然支持大整数，无需担心溢出问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DKB