Pyomo中决策变量间除法约束的线性化实现方案咨询

所有线性化方法都要求整型除数变量不会取0，以下默认除数为正整数变量，若除数允许取负值可参考逻辑扩展调整。

场景1：除法仅出现在不等式约束中 #

比如原约束形式为 x / y ≤ C 或 x / y ≥ C，其中x为实型变量，y为正整型变量，C为常数/固定参数。

• 直接利用不等式乘法规则变形即可，不需要额外引入决策变量：
  • x / y ≤ C → x ≤ C * y
  • x / y ≥ C → x ≥ C * y
• 该变形完全等价，没有精度损失。
• 如果y允许取负值，需要先引入0-1变量标记y的正负，分情况对不等式变形后用大M法合并约束即可，核心逻辑和正整数场景一致。

场景2：除法结果为独立决策变量 #

即原约束形式为 z = x / y，其中z为实型变量，x为实型变量，y为正整型变量，属于双线性非线性约束，需要引入辅助变量线性化，步骤如下：

1. 提前确定各变量的可行域上下界：
   • y的整数上下界：Y_L ≤ y ≤ Y_U
   • z的上下界：Z_L ≤ z ≤ Z_U
   • x的上下界：X_L ≤ x ≤ X_U
2. 引入辅助0-1变量集合 b，b[k] 对应y取k值的标记，k的取值范围为[Y_L, Y_U]的所有整数
3. 加入以下线性约束：
   • 保证y只能取唯一值：sum(b[k] for k in range(Y_L, Y_U+1)) == 1
   • y的取值关联：y == sum(k * b[k] for k in range(Y_L, Y_U+1))
   • 双线性项等价约束，M取足够大的常数，推荐值为 max(abs(Z_U*k - X_U), abs(Z_L*k - X_L)) 即可：

     for k in range(Y_L, Y_U+1):
         x >= k*z - M*(1 - b[k])
         x <= k*z + M*(1 - b[k])
     

Pyomo代码示例 #

import pyomo.environ as pyo

model = pyo.ConcreteModel()
# 变量定义
model.x = pyo.Var(within=pyo.Reals, bounds=(0, 100)) # 实型变量x
model.y = pyo.Var(within=pyo.Integers, bounds=(1, 10)) # 正整型变量y，下界为1避免取0
model.z = pyo.Var(within=pyo.Reals, bounds=(0, 20)) # 除法结果变量z

Y_L = 1
Y_U = 10
# 辅助0-1变量
model.b = pyo.Var(range(Y_L, Y_U+1), within=pyo.Binary)
M = 200 # 根据变量上下界计算的足够大的常数

# 线性化约束
model.b_sum = pyo.Constraint(expr=sum(model.b[k] for k in range(Y_L, Y_U+1)) == 1)
model.y_def = pyo.Constraint(expr=model.y == sum(k * model.b[k] for k in range(Y_L, Y_U+1)))

def _x_low_rule(model, k):
    return model.x >= k * model.z - M * (1 - model.b[k])
model.x_low = pyo.Constraint(range(Y_L, Y_U+1), rule=_x_low_rule)

def _x_high_rule(model, k):
    return model.x <= k * model.z + M * (1 - model.b[k])
model.x_high = pyo.Constraint(range(Y_L, Y_U+1), rule=_x_high_rule)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Unziello