为什么Julia求解线性系统Ax=b时会出现概率性运行失败？

核心报错本质 #

你遇到的LinearAlgebra.SingularException(3)是标准的奇异矩阵异常，触发的直接原因是随机生成的3阶方阵A刚好是不可逆的，不存在唯一的逆矩阵，无法直接用\求解唯一的Ax=b解。

概率性出现的原因 #

你用rand(1:4,3,3)生成矩阵时，所有元素都是1~4之间的整数，这种小范围整数构成的3阶矩阵有不小的概率满足行列式为0的奇异条件：要么两行/两列成比例，要么某一行/列是其他行/列的线性组合。
你实测的10%左右的失败率完全符合数学统计结果：3阶元素取1~4的整数矩阵总共有4^9=262144种可能，其中奇异矩阵的占比刚好在10%上下，和你的测试结果完全吻合。

验证方法 #

你可以修改测试代码，在捕获异常时打印当前的A矩阵并计算它的行列式，就能确认报错时的A矩阵行列式必然为0，属于奇异矩阵。

规避方案 #

如果要避免这个报错，可以选择以下任意一种方案：

• 生成矩阵时改用更大范围的数值，或者使用浮点随机数，大幅降低生成奇异矩阵的概率
• 求解前先做秩校验：if rank(A) == size(A,1) 确认矩阵满秩后再用\求解
• 对允许非唯一解的场景，用伪逆求解最小二乘解：pinv(A) * b，不会触发奇异异常

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hcp