是否存在无法在十进制下精确表示的二进制数值？

我们都知道部分十进制数值无法在二进制下获得精确表示。

例如十进制数值0.1。

在IEEE浮点数格式中，根据为浮点数分配的比特位数量不同，它会存在多种表示形式：

单精度（32位） #

• 十六进制：0x3DCCCCCD
• 二进制：1.10011001100110011001101×10⁻⁴
• 十进制：0.10000 00014 90116 11938 47656 25

双精度（64位） #

• 十六进制：0x3FB999999999999A
• 二进制：1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010×10⁻⁴
• 十进制：0.10000 00000 00000 00555 11151 23125 78270 21181 58340 45410 15625

扩展精度（80位） #

• 十六进制：0x3FFBCCCCCCCCCCCCCCCD
• 二进制：1.100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001101×10⁻⁴
• 十进制：0.10000 00000 00000 00000 13552 52715 60688 05425 09316 00108 74271 39282 22656 25

也就是说，十进制值0.1没有精确的二进制表示，它是无限循环的二进制值：

0.0 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 ...
0.0 ̅0̅0̅1̅1

同理，1⁄3在十进制下也没有精确表示，*“小数点”*后的数字会无限循环：

0.33333 33333 33333 33333 33333 33333 33333 ...
0.̅3

反过来是否成立？ #

是否存在无法在十进制下获得精确表示的二进制数值？提出该问题旨在拓展认知边界，丰富相关领域的知识储备。

编辑说明：不清楚为什么有人投票将该问题标记为重复，关联的问题与本问题方向完全相反。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ian Boyd