随机斜率模型假设及分层残差理论分布相关问题咨询

模型基础结构说明 #

你构建的是两层线性混合效应模型，固定效应包含时间（DAY）、干预（MEDICINE）及二者的交互项，随机效应为受试者（ID_SUBJECT）层面的随机截距和随时间变化的随机斜率，对应R语法为：

OUTCOME ~ DAY + MEDICINE + DAY*MEDICINE, random = ~ 1 + DAY | ID_SUBJECT

分层残差核心假设 #

第一层（个体内/观测水平）残差 #

• 符号记为$\epsilon_{ij}$，对应第i个受试者第j次观测的残差，代表固定效应、随机效应都无法解释的随机波动
• 核心假设：独立同分布，服从均值为0、方差为$\sigma^2$的正态分布，即$\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$
• 额外约束：与第二层随机效应无相关性，同一受试者不同时间点的第一层残差互相独立

第二层（个体间/受试者水平）残差（随机效应偏差） #

• 每个受试者对应2个随机效应偏差：随机截距偏差$u_{0i}$（受试者i的基线水平偏离总体平均截距的程度）、随机斜率偏差$u_{1i}$（受试者i的时间变化趋势偏离总体平均DAY斜率的程度）
• 核心假设：二者联合服从二元正态分布，均值向量为零向量，即：
  $$\begin{pmatrix} u_{0i} \ u_{1i} \end{pmatrix} \sim N\left( \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \tau_{00} & \tau_{01} \ \tau_{01} & \tau_{11} \end{pmatrix} \right)$$
  其中$\tau_{00}$是随机截距的方差、$\tau_{11}$是随机斜率的方差、$\tau_{01}$是随机截距和随机斜率的协方差，三者共同构成第二层随机效应的协方差矩阵G。

受试者双时间点对应残差的理论分布 #

你提到的每个受试者DAY=1、DAY=2对应的一对残差，分两种常见场景对应不同分布：

场景1：条件残差（扣减随机效应后的第一层残差） #

即已经用受试者的随机截距、随机斜率校正后得到的残差，两个时间点的残差互相独立，各自服从$N(0, \sigma^2)$的正态分布。

场景2：边际残差（仅扣减固定效应后的总残差） #

即仅用总体固定效应预测得到的残差，此时每个受试者的两个残差会因为共享同一个体的随机效应存在相关性，二者联合服从二元正态分布：

• 均值均为0
• DAY=1残差方差：$\tau_{00} + 2\tau_{01} + \tau_{11} + \sigma^2$
• DAY=2残差方差：$\tau_{00} + 4\tau_{01} + 4\tau_{11} + \sigma^2$
• 二者协方差：$\tau_{00} + 3\tau_{01} + 2\tau_{11}$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bra