求无向无权图中长度为K的1号顶点自返路径数的更优算法

你提到的邻接矩阵快速幂是该问题的通用解法，针对「仅需要起点1到自身的路径计数」的场景，确实存在效率更高的实现方案：

• 稀疏图优化：如果你的图是边数M远小于N²的稀疏图，可以把矩阵乘法替换为稀疏矩阵实现，单次矩阵乘法的复杂度从O(N³)降到O(NM)，整体复杂度为O(NM log K)，相比原方法提升非常明显。
• 线性递推优化：根据凯莱-哈密顿定理，「走k步回到1号点的路径数」这个序列f(k)是阶数不超过N的线性递推序列。你可以先暴力算出前N项f(0)~f(N-1)的值（f(0)=1，后续项可以通过DP逐次计算，稀疏图下复杂度为O(NM)），再用快速线性递推算法计算第K项，不需要计算整个矩阵的K次幂。用基础实现的话复杂度为O(N² log K)，如果配合FFT优化多项式运算可以进一步降到O(N log N log K)*，N较大时优势显著。
• 特征值分解优化：无向图的邻接矩阵是实对称矩阵，可正交对角化为A = QΛQ^T，其中Λ是存储特征值的对角矩阵，那么A^k的左上角元素可以直接表示为∑Q_{1i}² * λ_i^k。提前完成特征分解（单次复杂度O(N³)）后，任意K值的查询只需要O(N)时间，适合需要多次查询不同K值的场景。

优化方案可以根据你的实际场景选择：如果仅单次查询稠密图的结果，原方法已经足够高效；如果是稀疏图或者需要多次查询，以上优化方案都能带来明显的速度提升。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maluko