MILP优化中缩小目标函数量级得到更优解的问题咨询

产生原因 #

• 数值浮点截断误差：你指定的SOLVER=1对应APOPT混合整数求解器，内部采用双精度浮点数运算。当目标函数量级达到1e6级别时，单个improvements离散变量调整带来的数百到数千的收入提升，会因浮点数有效位数限制被判定为可忽略的微小扰动，导致分支定界过程中错误裁剪存在更优解的分支。即便你设置了minlp_gap_tol=1.0e-10、minlp_integer_tol=1.0e-10，大数量级下相对误差对应的绝对误差可达0.0001~0.1级别，足够淹没小幅度的目标提升。
• 目标与约束量级不匹配：你的约束条件（总设施数≤50、商业贡献≤100）均为100以内的小量级，和百万级的目标函数存在4~5个数量级的差距。求解器默认的数值缩放策略会优先保障约束可行性，降低目标函数的数值优先级，导致部分可行的优化方向被忽略。
• 相对Gap判定偏差：minlp_gap_tol为相对Gap阈值，计算公式为(上界-下界)/上界。未缩放时1e6量级的目标下，你观察到的10997.87的收入差值对应的相对Gap仅为1.1e-3，若求解过程中触发了迭代次数、时间限制等终止条件，求解器很可能在达到你设置的1e-10严格Gap之前就提前终止，输出次优解。

规避方案 #

• 建模阶段统一量纲缩放：提前对目标函数和约束进行量级缩放，将所有数值控制在1~1e4的合理区间。你本次将目标除以100的操作是完全合规的优化手段，得到最优离散变量组合后再乘以100还原真实收入即可，不会对变量组合的最优性产生任何影响。
• 补充设置绝对Gap阈值：在原有minlp_gap_tol的基础上，新增minlp_gap_abs_tol参数，按照业务可接受的最小优化幅度设置，例如你能接受的最小收入提升为10，就设置m.options.minlp_gap_abs_tol = 10，可彻底避免大目标量级下相对Gap的判定偏差。
• 调整求解器数值精度参数：将Gekko的全局数值精度阈值m.options.eps调整为1e-12，进一步降低浮点截断误差的影响，配合已设置的minlp_integer_tol提升整数解的判定精度。
• 拆解目标函数避免过大系数：如果你的自定义目标规则中存在单变量系数超过1e4的情况，尽量将系数拆分或者提前做归一化处理，避免不同项的系数差超过3个数量级。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathias Sven