如何推导国际象棋锦标赛中冠军卫冕概率的递推公式？

你的现有推导存在几处明显疏漏，合理性不足：

• 状态定义缺失了核心的「剩余对局数」维度，仅用所需积分i作为单变量无法正确计算概率，比如剩余1局需要拿到1分，和剩余3局需要拿到1分的成功概率完全不同
• 错误加入了除以3的计算，ww、wd、wl本身就是三种互斥结果的发生概率，三者之和为1，无需额外做平均
• 没有考虑黑白轮流执棋的规则，仅用执白的概率套用到所有对局是错误的，首局冠军执白后后续对局会轮流换边，执黑时的胜率、和率、负率要改用bw、bd、bl
• 结果权重的设定逻辑错误，你写的固定权重本质是单局拿分的数值，不是后续卫冕的概率权重，要结合剩余对局的状态计算

第一步：定义状态 #

我们定义 P(g, i) 为当前剩余g局对局，冠军还需要拿到至少i个积分才能卫冕时，最终成功卫冕的概率，其中i是0.5的整数倍。
额外补充执色判断规则：因为首局冠军执白，已完成对局数为 24 - g，若该值为偶数，说明当前要进行的新一局冠军执白；若为奇数则当前局冠军执黑。

第二步：边界条件 #

• 当 i ≤ 0 时，不管还剩多少局，冠军已经达到了所需积分要求，必然卫冕成功，因此 P(g, i) = 1
• 当 g = 0 时，没有剩余对局可以拿分，如果此时 i > 0 说明积分未达标，卫冕失败，因此 P(0, i) = 0（i>0时）

第三步：递推关系 #

分两种情况计算：

1. 当前局冠军执白
   三种对局结果的概率加权求和即可：

P(g, i) = ww * P(g-1, i-1) + wd * P(g-1, i-0.5) + wl * P(g-1, i)

对应逻辑：

• 执白获胜：概率ww，本局拿1分，剩余g-1局还需要拿i-1分
• 执白战和：概率wd，本局拿0.5分，剩余g-1局还需要拿i-0.5分
• 执白告负：概率wl，本局拿0分，剩余g-1局仍需要拿i分

2. 当前局冠军执黑
   把概率参数换成执黑对应的取值即可：

P(g, i) = bw * P(g-1, i-1) + bd * P(g-1, i-0.5) + bl * P(g-1, i)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者prakash sellathurai