如何计算存储1到2^100所有整数所需的总存储空间

问题本质分析 #

你要计算的是1到2^100所有整数的二进制位数总和，首先直接给出结论：

• 遍历方案从物理层面就不可能实现，哪怕换C语言、动用全球所有算力堆叠，也不可能在可预见的时间内跑完
• 不需要任何循环，用数学公式可以1秒算出结果

为什么遍历不可行 #

2^100的数值约为1.27e30，哪怕你把单循环性能优化到每秒10亿次（消费级CPU用C语言优化的极限水平），跑完所有循环需要的时间超过4e13年，是宇宙年龄的3000多倍，多核、分布式计算这类优化对这个量级的任务没有任何实际意义，根本不可能把耗时降到数天甚至数小时的水平。

最优解法：数学公式推导 #

我们可以直接通过数列求和得到闭式解，不需要遍历：

1. 二进制位数为k的正整数范围是[2^(k-1), 2^k - 1]，共有2^(k-1)个符合要求的数
2. 计算1到2^n - 1的总二进制位数，对应的求和公式为：sum(k * 2^(k-1))（k从1到n），化简后得到闭式解：(n - 1) * 2^n + 1
3. 如果你需要包含2^100本身（它的二进制位数是101位），额外加101即可

实现代码 #

n = 100
# 计算1到2^n -1的总二进制位数
total = (n - 1) * (2 ** n) + 1
# 可选：如果要包含2^n本身，加上n+1位
total += n + 1

with open('results.txt', 'w') as file:
    file.write(f'{total=}')

运行后直接得到结果，不需要任何等待。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Andres