分母含(n^3.2)^-n的函数Θ-notation渐近阶求解问询

我们逐步拆解函数结构推导阶数：

• 首先简化分母中的特殊项：(n^3.2)^-n可以化简为n^(-3.2n) = 1/(n^(3.2n))，这是一个随n增大极速衰减的项，只要n≥2，n^(3.2n)就已经是远超1的极大值，该衰减项的值会快速趋近于0。
• 然后确定分母的取值范围：对所有正整数n≥1，分母1 + (n^3.2)^-n满足 1 < 1 + 1/n^(3.2n) ≤ 1 + 1/1^(3.2*1) = 2，也就是分母始终介于1和2之间，当n增大时会无限趋近于1。
• 再看分子的阶：分子n² + 2本身的渐进阶就是Θ(n²)，和你举的基础示例的分子阶数逻辑一致。

接下来验证上下界即可确定Θ阶：

上界：因为分母恒大于1，所以f(n) = (n² + 2) / 分母 < n² + 2，当n≥1时n² + 2 ≤ 3n²，即可找到常数c₁=3、n₀=1，满足所有n≥n₀时f(n) ≤ c₁·n²。
下界：当n≥2时，1/n^(3.2n) ≤ 1/2^6.4 < 0.02，分母小于1.02，因此f(n) > (n²)/1.02 ≥ 0.98n²，即可找到常数c₂=0.98、n₀=2，满足所有n≥n₀时f(n) ≥ c₂·n²。

综上，该函数的Θ-notation结果为Θ(n²)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者henryD