OpenGL圆变换后正射投影、透视投影及相机旋转实现求助

Q1：变换后圆在xy平面的正射投影 #

推导过程 #

1. 原圆参数方程（θ∈[0, 2π)）：

   x₀ = 40 + 20cosθ
   y₀ = 40 + 20sinθ
   z₀ = 0
   

2. 绕X轴逆时针转30°的旋转矩阵作用后坐标：

   x₁ = x₀ = 40 + 20cosθ
   y₁ = y₀ * cos30° - z₀ * sin30° = (40 + 20sinθ) * (√3/2)
   z₁ = y₀ * sin30° + z₀ * cos30° = (40 + 20sinθ) * 0.5
   

3. 沿Z轴正方向平移20单位后最终坐标：

   x = x₁ = 40 + 20cosθ
   y = y₁ = 20√3 + 10√3 sinθ
   z = z₁ + 20 = 40 + 10sinθ
   

4. 正射投影到xy平面直接丢弃z坐标，最终投影为椭圆，标准方程为：

   ((x - 40)/20)² + ((y - 20√3)/(10√3))² = 1
   

   椭圆中心为(40, 20√3)，x方向半轴长20，y方向半轴长10√3。

Q2：透视投影求解与实现代码 #

投影规则推导 #

三个坐标轴点(100, 0, 0)、(0, 100, 0)、(0, 0, 100)构成的平面方程为x + y + z = 100。相机位于原点，透视投影为原点出发的射线穿过圆上点，与该平面的交点：

• 设圆上任意点坐标为(x, y, z)，射线参数方程为t(x, y, z), t>0
• 代入平面方程得t = 100/(x+y+z)
• 最终投影点坐标为(100x/(x+y+z), 100y/(x+y+z), 100z/(x+y+z))

可运行实现代码（含相机沿Z轴旋转效果） #

from OpenGL.GL import *
from OpenGL.GLUT import *
from OpenGL.GLU import *
from math import *

# 相机绕Z轴旋转角度
cam_rotate = 0.0
# 变换后圆的圆心坐标
target_x, target_y, target_z = 40, 40 * cos(radians(30)), 40 * sin(radians(30)) + 20

def circle():
    posx, posy = 40,40
    sides = 80
    radius = 20
    glBegin(GL_POLYGON)
    for i in range(sides):
        cosine = radius * cos(i*2*pi/sides) + posx
        sine  = radius * sin(i*2*pi/sides) + posy
        glVertex3f(cosine, sine, 0)
    glEnd()

def iterate():
    global cam_rotate
    glViewport(0, 0, 800, 800)
    # 设置透视投影
    glMatrixMode(GL_PROJECTION)
    glLoadIdentity()
    gluPerspective(60, 1, 0.1, 1000)
    
    # 设置视图变换+模型变换
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW)
    glLoadIdentity()
    # 相机绕Z轴旋转
    glRotatef(cam_rotate, 0, 0, 1)
    # 相机位于原点，看向变换后的圆心，向上向量为原Z轴(0,0,1)
    gluLookAt(0, 0, 0, target_x, target_y, target_z, 0, 0, 1)
    # 圆的变换：先绕X轴转30度，再沿Z轴平移20
    glTranslatef(0, 0, 20)
    glRotatef(30, 1, 0, 0)
    # 每帧旋转角度+0.5度
    cam_rotate += 0.5

def showScreen():
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT)
    iterate()
    glColor3f(1.0, 0.0, 0.0)
    circle()
    glutSwapBuffers()

glutInit()
glutInitDisplayMode(GLUT_RGBA | GLUT_DOUBLE | GLUT_DEPTH)
glutInitWindowSize(800, 800)
glutInitWindowPosition(200, 200)
wind = glutCreateWindow("Perspective Projection Demo")
# 开启深度测试
glEnable(GL_DEPTH_TEST)
glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0)
glutDisplayFunc(showScreen)
glutIdleFunc(showScreen)
glutMainLoop()

内容的提问来源于stack exchange，提问作者XGB