Python无初始猜测求解CO2减排指数非线性方程的方案咨询

你需要计算以下形式的指数函数作为CO₂排放减排函数：
f(x) = a*exp(-b*x)+c
需满足三个约束条件：

• f(x=0) = 700 Mt，对应德国当前CO₂排放量
• f(x=30) = 0 Mt，对应30年后实现CO₂零排放
• 0到30区间内f(x)的积分等于剩余碳预算（即曲线下面积）

原Matlab环境中调用solve函数可正常求解，迁移到Python后测试的求解器均运行失败：只有导入Matlab脚本得到的解作为初始猜测值时才能正常运行。已测试scipy的fsolve和gekko均未达到预期，希望找到无需提前提供优质初始猜测值即可正常运行的Python求解方案。
你当前使用的gekko测试代码如下：

def solve(self, end_year, budget):
        self.end_year = end_year
        self.budget = budget
        d_year = self.end_year - self.start_year
        
        m = GEKKO()
        a,b,c = [m.Var(1) for i in range(3)]
        
        eq1 = a + c - self.co2_start
        eq2 = a*m.exp(-b*d_year) + c
        eq3 = a/b*(1-m.exp(-b*d_year))+c*d_year-self.budget
        
        m.Equation([eq1==0, eq2==0, eq3==0])
        m.solve(disp=False)
        self.a, self.b, self.c = a.value, b.value, c.value

不需要用多变量求解器，先通过前两个约束做代数消元，把三个未知参数转化为仅关于b的单变量方程，用单变量求根方法完全不需要提前设置优质初始值：

1. 从约束1推导得：c = 700 - a
2. 代入约束2推导得：a = 700 / (1 - exp(-30b))，c = -700 * exp(-30b) / (1 - exp(-30b))
3. 将a、c用b表示后代入积分约束，仅需对b做单变量求根即可

可直接使用的实现代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import root_scalar

def solve_co2_params(co2_start=700, end_year=30, budget):
    def residual(b):
        # 避免b趋近于0时的计算错误
        if b <= 1e-6:
            return 1e10
        exp_term = np.exp(-b * end_year)
        a = co2_start / (1 - exp_term)
        c = co2_start - a
        # 计算积分和预算的残差
        integral = a / b * (1 - exp_term) + c * end_year
        return integral - budget
    # 给定足够宽的b的取值区间即可，常规减排场景下b在0.001~1范围内
    sol = root_scalar(residual, bracket=[0.001, 1], method='brentq')
    b = sol.root
    exp_term = np.exp(-b * end_year)
    a = co2_start / (1 - exp_term)
    c = co2_start - a
    return a, b, c

brentq方法只要给定的区间两端残差符号相反就一定能收敛到根，完全不需要提前获知近似解作为初始值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cedi123