已知两点、圆弧夹角及平面法向量求解三维空间圆圆心的计算方法

前提变量定义 #

先统一已知量的符号，避免计算混淆：

• 两个已知三维点：P₁(x₁,y₁,z₁)、P₂(x₂,y₂,z₂)
• 两点对应圆弧的圆心角：θ（单位为弧度，若给定为角度需先转换为弧度；如果是优弧场景，取 θ = 2π - 给定小夹角 即可）
• 圆所在平面的单位法向量：n(nₓ,nᵧ,n_z)，需提前做归一化处理
• 待求圆心坐标：O(x₀,y₀,z₀)

具体计算步骤 #

步骤1：计算两点中点与连线基础参数 #

两点中点M的坐标：
M = (P₁ + P₂) / 2
两点连线向量V、两点间距d：
V = P₂ - P₁
d = |V|（即向量V的模长）

步骤2：推导半径与圆心到连线的垂直距离 #

由几何关系可得：
d/2 = R * sin(θ/2)，因此圆半径 R = d / (2 * sin(θ/2))
圆心O到P₁P₂连线的垂直距离：
h = R * cos(θ/2) = (d / 2) * cot(θ/2)

步骤3：获取平面内垂直于连线的单位方向向量 #

对向量V和法向量n做叉乘，得到的向量同时垂直于V和n，也就是在给定平面内、且垂直于P₁P₂连线的方向，归一化后得到单位方向向量u：
u = (V × n) / |V × n|

注：叉乘的方向遵循右手定则，若需要对应另一侧圆弧的圆心，直接将u取反即可。

步骤4：计算最终圆心坐标 #

圆心在过中点M、沿u方向偏移h的位置，因此：
O = M + u * h

结果校验 #

可通过三个维度验证结果正确性：

• |O - P₁| 和 |O - P₂| 的差值在允许误差范围内
• 向量O-P₁与O-P₂的夹角和给定的θ差值在允许误差范围内
• 向量O-P₁与法向量n的点积接近0，即圆心在给定平面内
  内容的提问来源于stack exchange，提问作者HyouZou