如何在R中绘制指定的含Gamma函数的微积分函数

你给出的表达式是自由度为ν的标准学生t分布的概率密度函数，公式标注中的argmin_b前缀疑似笔误，该函数关于b=0对称，在b=0处取最大值，当b趋近于正负无穷时函数值趋近于0，不存在有限的最小值。
下面是具体的实现步骤：

1. 自定义函数表达式 #

你可以直接按照公式结构写自定义函数，R内置了gamma()计算伽马函数、pi代表圆周率常量、sqrt()计算平方根，直接调用即可：

# 入参：b为自变量，nu为t分布的自由度
custom_t_pdf <- function(b, nu) {
  numerator <- gamma((nu + 1)/2)
  denominator <- sqrt(nu * pi) * gamma(nu/2)
  core_term <- (1 + b^2 / nu) ^ (-(nu + 1)/2)
  return(numerator / denominator * core_term)
}

注：R本身有内置的t分布密度函数dt(b, df = nu)，计算结果和上述自定义函数完全一致，如果你不需要修改公式结构，直接调用内置函数效率更高。

2. 绘制函数曲线 #

以自由度为3的t分布为例，绘制曲线的代码如下：

# 生成自变量b的取值序列，覆盖-4到4的区间
b_seq <- seq(-4, 4, by = 0.01)
# 计算对应函数值
y_values <- custom_t_pdf(b = b_seq, nu = 3)

# 绘制基础曲线
plot(
  x = b_seq,
  y = y_values,
  type = "l", # 指定绘制线图
  lwd = 2, # 线宽
  col = "#2c7fb8",
  xlab = "b",
  ylab = "密度值",
  main = "标准学生t分布概率密度曲线（ν=3）"
)
# 可叠加其他自由度的曲线做对比，比如自由度为1的柯西分布
lines(b_seq, custom_t_pdf(b_seq, nu = 1), col = "#d95f02", lwd = 2, lty = 2)
# 添加图例
legend("topright",
       legend = c("自由度ν=3", "自由度ν=1（柯西分布）"),
       col = c("#2c7fb8", "#d95f02"),
       lwd = 2,
       lty = c(1, 2))

如果直接调用内置dt()函数，绘图代码可以简化为：

plot(b_seq, dt(b_seq, df = 3), type = "l", lwd = 2, col = "darkgreen")

内容的提问来源于stack exchange，提问作者VXL963