如何使用cplexAPI求解二次规划及带二次约束的线性规划

一、二次规划（QP）实现步骤 #

二次规划是目标函数含二次项、约束均为线性的优化问题，基于cplexAPI的实现流程如下：

• 导入cplexAPI包，初始化CPLEX环境指针，创建空的问题实例
• 配置问题属性：设置优化方向（最小/最大化），添加决策变量的线性目标系数、上下界、变量类型
• 调用setQC函数传入目标函数的二次项系数矩阵（CPLEX要求二次矩阵为半正定/半负定，对应最小化/最大化场景，默认使用上三角矩阵存储减少冗余）
• 调用addRows添加所有线性约束，逻辑与线性规划完全一致
• 调用solveCplex求解，通过getObjVal、getX等函数提取求解结果
• 求解完成后关闭问题实例、释放CPLEX环境，避免内存泄漏

QP代码示例 #

以下示例为最小化x1² + x2² + x3²，约束x1+x2+x3=1，x1,x2,x3≥0：

library(cplexAPI)
# 初始化环境与问题
env <- openEnv()
prob <- createProb(env, "qp_example")
# 设置为最小化问题
setObjDir(env, prob, CPX_MIN)
# 定义3个连续变量，下界0，上界Inf，线性目标系数都是0（目标全为二次项）
nvar <- 3
lb <- rep(0, nvar)
ub <- rep(CPX_INFBOUND, nvar)
obj_lin <- rep(0, nvar)
vtype <- rep(CPX_CONTINUOUS, nvar)
addCols(env, prob, nvar, obj_lin, lb, ub, vtype, rep("", nvar))
# 设置目标二次项：CPLEX二次目标格式为0.5*x^T Q x，因此要得到x_i²系数为1，Q矩阵对角线元素设为2
Qmat <- Matrix::Diagonal(nvar, 2)
# 传入二次矩阵
setQC(env, prob, Qmat@p, Qmat@i, Qmat@x)
# 添加线性约束：x1+x2+x3 = 1
ncon <- 1
rhs <- c(1)
sense <- c("E")
beg <- c(0)
ind <- c(0,1,2)
val <- c(1,1,1)
addRows(env, prob, ncon, rhs, sense, beg, ind, val, rep("", ncon))
# 求解
solveCplex(env, prob)
# 提取结果
obj_val <- getObjVal(env, prob)
x_sol <- getX(env, prob, 0, nvar-1)
print(paste0("最优目标值：", round(obj_val,4)))
print(paste0("最优解：x1=", round(x_sol[1],4), ", x2=", round(x_sol[2],4), ", x3=", round(x_sol[3],4)))
# 释放资源
freeProb(env, prob)
closeEnv(env)

二、带二次约束的线性规划（QCQP）实现步骤 #

这类问题目标函数为线性，约束中存在二次项，实现流程和QP基本一致，区别是不需要设置目标二次项，改为通过addQConstr函数添加二次约束：

• 初始化CPLEX环境和问题实例，配置决策变量的线性目标系数、上下界、变量类型
• 先添加所有线性约束，逻辑和线性规划一致
• 调用addQConstr函数逐条添加二次约束，传入二次项的行索引、列索引、系数，以及约束的一次项系数、右端项、约束方向
• 求解后提取结果，释放资源

QCQP代码示例 #

以下示例为最小化x1+x2+x3，约束x1² + 2x2² ≤ 1、x1+x2+x3 ≥ 0.5，所有变量≥0：

library(cplexAPI)
# 初始化环境与问题
env <- openEnv()
prob <- createProb(env, "qcqp_example")
setObjDir(env, prob, CPX_MIN)
# 定义3个连续变量，线性目标系数都是1，下界0
nvar <- 3
obj_lin <- c(1,1,1)
lb <- rep(0, nvar)
ub <- rep(CPX_INFBOUND, nvar)
vtype <- rep(CPX_CONTINUOUS, nvar)
addCols(env, prob, nvar, obj_lin, lb, ub, vtype, rep("", nvar))
# 添加线性约束：x1+x2+x3 ≥ 0.5
ncon_lin <- 1
rhs_lin <- c(0.5)
sense_lin <- c("G")
beg <- c(0)
ind <- c(0,1,2)
val <- c(1,1,1)
addRows(env, prob, ncon_lin, rhs_lin, sense_lin, beg, ind, val, rep("", ncon_lin))
# 添加二次约束：x1² + 2x2² ≤ 1，对应0.5*x^T Q x ≤ 1，因此Q矩阵(0,0)=2、(1,1)=4
qrow <- c(0,1)
qcol <- c(0,1)
qval <- c(2,4)
# 该二次约束无一次项，线性部分留空
lin_ind <- integer(0)
lin_val <- numeric(0)
addQConstr(env, prob, length(lin_ind), length(qval), 1, "L", lin_ind, lin_val, qrow, qcol, qval, "quad_constr1")
# 求解
solveCplex(env, prob)
# 提取结果
obj_val <- getObjVal(env, prob)
x_sol <- getX(env, prob, 0, nvar-1)
print(paste0("最优目标值：", round(obj_val,4)))
print(paste0("最优解：x1=", round(x_sol[1],4), ", x2=", round(x_sol[2],4), ", x3=", round(x_sol[3],4)))
# 释放资源
freeProb(env, prob)
closeEnv(env)

注意事项 #

• 所有涉及索引的参数均从0开始计数，和CPLEX的C API逻辑保持一致，不要使用R默认的1索引，否则会出现报错或计算错误
• 二次项存储默认使用上三角矩阵，不要重复传入下三角的对称元素，避免系数计算翻倍
• 求解前可以调用setIntParm(env, prob, CPX_PARAM_SCRIND, 1)打开求解日志输出，方便排查求解过程中的问题
• 若遇到非凸二次规划/二次约束问题，需要开启CPLEX的非凸求解参数：setIntParm(env, prob, CPX_PARAM_SOLUTIONTARGET, CPX_SOLUTIONTARGET_FIRSTORDER)，否则会报错提示问题非凸

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wayne