四元数旋转函数拓展到H时要求φ(s + v) = s + φ(v)的原因是什么

四元数空间$\mathbb{H}$中的任意元素都可以唯一拆分为标量实部$s \in \mathbb{R}$与纯虚部$v \in \mathbb{R}^3$（对应三维欧氏空间的向量，可等价为实部为0的纯虚四元数）的和，即任意$q \in \mathbb{H}$都满足$q = s + v$。

• 拓展规则的核心逻辑：最初的旋转函数$\varphi$仅定义在三维向量空间（也就是纯虚四元数集合）上，而标量本身不存在朝向属性，不会被旋转变换改变。因此我们将$\varphi$拓展到整个四元数空间时，只需要保留实部不变，仅对纯虚部应用原旋转规则即可，$\varphi(s+v) = s + \varphi(v)$就是对这个逻辑的直接数学表述。
• 拓展的自洽性验证：按照这个规则拓展后，三维向量的四元数旋转表示$\varphi(v) = qvq^{-1}$（$q$为单位四元数）可以直接推广到整个四元数空间，代入任意四元数$p = s + v$可得：
  $$\varphi(p) = qpq^{-1} = q(s+v)q^{-1} = s \cdot qq^{-1} + qvq^{-1} = s + \varphi(v)$$
  和我们的拓展规则完全契合，这也是后续四元数旋转公式推导的核心基础。
• 拓展的附加优势：该规则属于线性拓展，完整保留了四元数的加法结构，和四元数的乘法、共轭运算的兼容性更强，不需要额外引入复杂的适配规则。

参考资料 #

• 《Quaternions and Rotation Sequences》（Jack B. Kuipers著）第3章，系统讲解了四元数空间与三维旋转的映射关系
• 原书《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》附录A的四元数代数基础部分，明确了纯虚四元数与三维向量的等价约定

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CatDog