Goldstein第3版变分法「最短路径」证明中的直线方程疑问

问题解答 #

本质是线性关系的坐标系依赖 #

直线方程的核心定义是两个目标变量之间为一次多项式关系，我们熟悉的y = ax + b只是通用表达形式，实际判断要以你研究的两个变量作为坐标轴基准：

• 式中的stuff是不依赖a、c的固定常数：Goldstein本节推导中，这个分母是由提前给定的边界条件、几何约束得到的定值，和待求解的参数a、c完全无关
• 将式子改写为a = (1/stuff) * c + 0，如果我们以c为横坐标、a为纵坐标，这个式子完全符合直线方程的通用结构：斜率为常数1/stuff，截距为常数0，对应a-c坐标系下一条过原点的直线。

补充说明 #

如果后续推导中你遇到形如c = k * a + d的形式，只要k、d都是和a、c无关的常数，本质也属于a-c坐标系下的直线，只是截距不为0而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel B