numpy不同浮点类型精度限制：计算1/i相邻项不可区分的对应i值

计算逻辑说明 #

相邻两项1/i与1/(i+1)的差值为：

1/i - 1/(i+1) = 1/(i*(i+1))

当这个差值小于等于阈值E（或浮点类型本身的最小可分辨误差）时，两个值就无法被区分。

1. 给定任意阈值E时的i值计算 #

解不等式 1/(i*(i+1)) < E，因为i较大时i*(i+1)≈i²，可近似得到：
i ≈ √(1/E)
和你给出的示例完全匹配：E=0.01时，√(1/0.01)=10，对应无法区分1/10和1/11。

2. 最小E及对应i值计算 #

这里的最小E就是浮点类型本身的精度上限，也就是对应数值点的最小可分辨绝对差，计算逻辑如下：

• 每种浮点类型都有固定的相对精度（机器epsilon），即np.finfo(np.floatXX).eps，代表该类型可以表示的两个同量级数值的最小相对差：
  • float16相对epsilon≈0.0009766
  • float32相对epsilon≈1.192e-7
  • float64相对epsilon≈2.22e-16
• 数值x=1/i对应的最小可分辨绝对差为 x * eps = (1/i) * eps
• 当相邻两项的差值小于等于这个绝对差时，两者无法区分，即：
  1/(i*(i+1)) ≤ (1/i)*eps
  约掉公因子后近似可得 i ≈ 1/eps
• 对应最小E的近似值为 eps²，比如float16的最小E≈9.5e-7。

不同浮点类型的理论与实际测试i值对比：

实际值和理论近似值的差异来自浮点数表示的离散性，实际运行断点测试得到的结果更准确

通用函数f(i)的最大可区分i计算方法 #

对于任意单调函数f(i)，只要满足以下不等式，相邻的f(i)与f(i+1)就无法被对应浮点类型区分：

abs(f(i) - f(i+1)) < np.finfo(浮点类型).eps * abs(f(i))

解该不等式即可得到最大可区分的i值。

验证代码 #

你给出的断点测试逻辑完全正确，可直接运行得到准确结果：

import numpy as np
# float16测试
for i in range(1000, 2000):
    if not np.float16(1/i) > np.float16(1/(i+1)):
        print(f"float16断点i：{i}")
        break
# float32测试
for i in range(int(1e7), int(1.3e7)):
    if not np.float32(1/i) > np.float32(1/(i+1)):
        print(f"float32断点i：{i}")
        break

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sten