少量64位浮点数采用不同加法组合时最多可得到多少种不同求和结果？

此前有人提问为何sum(myfloats)与sum(reversed(myfloats))的计算结果不同，相关问题被归类到浮点数精度共性问题后删除。

引申问题 #

该问题引出了新的疑问：仅对少量浮点数采用不同的求和顺序或加法组合，最多能得到多少种不同的求和结果？

n=3的实测情况 #

测试显示3个浮点数最多可得到3种不同的和，测试代码如下：

>>> from itertools import permutations
>>> for perm in permutations([0.2, 0.3, 0.4]):
        print(perm, sum(perm))

(0.2, 0.3, 0.4) 0.9
(0.2, 0.4, 0.3) 0.9000000000000001
(0.3, 0.2, 0.4) 0.9
(0.3, 0.4, 0.2) 0.8999999999999999
(0.4, 0.2, 0.3) 0.9000000000000001
(0.4, 0.3, 0.2) 0.8999999999999999

浮点数加法满足交换律，即a + b == b + a，3个浮点数求和时共有3种两两相加的组合，因此最多得到3种不同结果。

待解答的具体疑问 #

• 4个浮点数求和时可以得到超过3种不同的和吗？若不能请说明原因，若可以请给出最大数量
• 5个浮点数的最大不同和数量又是多少？

注：求和包含所有合法的加法组合方式，不限于从左到右累加，例如(a+b) + (c+d)的分组求和也纳入统计范围，本文讨论的浮点数为Python中使用的64位浮点数，其他语言中常称为double。

解答 #

4个浮点数求和可以得到超过3种的不同结果，针对64位双精度浮点数，最多可以得到10种不同的和。
5个浮点数求和的最大不同结果数为30。
常规测试很难找到对应案例，是因为需要刻意构造能触发每一步不同舍入误差的特殊浮点数组合，随机选取的普通浮点数很难覆盖所有可能的误差分支，只会触发少数几种不同的求和结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者no comment