32位有符号整型最大值为何为2^31-1而非2^31？

疑问背景：32位int的最高位为符号位，剩余31位用于存储数值，经计算31位二进制共可产生2^{31种不同组合，为何32位有符号整型的最大值是2}31-1，而非2^31？

当前主流编程语言的32位有符号整型均采用补码规则编码，这是取值规则的核心前提：

• 补码规定最高位为0时表示非负数，最高位为1时表示负数，32位的所有2^32种二进制组合都对应唯一的数值，没有冗余的重复编码。
• 非负数的编码范围：最高位固定为0，剩余31位可自由组合，总共有2^31种不同取值。这部分编码从000...000（31个0）对应数值0开始，到011...111（31个1）对应数值2^30 + 2^29 + ... + 2^0 = 2^31 -1结束，刚好覆盖从0到2^31-1共2^31个非负数值，没有多余的编码留给更大的正数。
• 如果你尝试表示2^31，对应的二进制是100...000（31个0），这个编码在补码规则里最高位为1，会被识别为负数，对应数值是-2^31，不属于正整数范围。

你可以用4位有符号整型做简化类比：4位中1位符号位3位数值位，最大正数就是0111对应的7 = 2^3 -1，无法存储正8，1000对应的是-8，逻辑和32位场景完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者yaelreshet11