在R中计算独立标准正态变量平方和大于给定值的概率

• 首先明确分布原理：3个独立标准正态分布随机变量的平方和，服从自由度为3的卡方分布（χ²(3)），你要求的P(x₁²+x₂²+x₃²>5)就是该分布的右尾概率。
• R中使用内置的卡方分布累积分布函数pchisq()即可直接计算，两种等价写法如下：
  1. 手动计算1减去左尾累积概率：
     1 - pchisq(q = 5, df = 3)
  2. 直接指定计算右尾概率：
     pchisq(q = 5, df = 3, lower.tail = FALSE)
• 运行上述代码得到的结果约为0.1718，即所求概率约为17.18%。
• 如果你需要用模拟方法验证结果，可以运行以下代码：

# 设置随机种子保证结果可复现
set.seed(123)
# 模拟100万次抽样，每次生成3个标准正态变量计算平方和
sim_res <- replicate(1e6, sum(rnorm(3)^2))
# 统计平方和大于5的占比
mean(sim_res > 5)

运行后得到的模拟结果和理论值偏差极小，可验证计算正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jfkfc