如何将带边界条件的二阶线性差分方程改写为矩阵方程

你手里的是二阶线性非齐次差分方程，带两端边界条件，转换矩阵方程的核心是把所有未知的y(n)整理为列向量，把差分关系映射为三对角系数矩阵，最终形式为A * Y = b的线性方程组，具体步骤如下：

• 第一步：确定未知量范围
  已知边界条件y(-1)=0和y(100)=101/6为固定值，剩下的未知量是y(0), y(1), y(2), ..., y(99)，共100个未知量，对应n=1到n=100共100个差分方程，刚好匹配方阵规模。
• 第二步：构造未知量列向量Y

Y = [y(0), y(1), y(2), ..., y(99)]^T

• 第三步：构造三对角系数矩阵A
  A是100×100的稀疏矩阵，只有三条对角线有非零元素：
  • 主对角线：所有元素为-10.1，对应差分方程中y(n-1)项的系数
  • 次对角线（主对角线下方，行索引比列索引大1）：所有元素为1，对应差分方程中y(n)项的系数
  • 上对角线（主对角线上方，行索引比列索引小1）：所有元素为1，对应差分方程中y(n-2)项的系数
  • 其余位置元素全部为0
• 第四步：构造右端常数列向量b
  b的每个元素对应差分方程移项后的常数项，分段计算：
  • 第1个元素（对应n=1的方程）：-1.35 * 1 - y(-1) = -1.35（已知y(-1)=0）
  • 第2到第99个元素（对应n=2到n=99的方程）：-1.35 * n，无额外常数项
  • 第100个元素（对应n=100的方程）：-1.35 * 100 - y(100) = -135 - 101/6（已知y(100)=101/6）

如果需要简化验证，可以把边界上限缩小到y(3)，此时未知量只有3个，你可以手动写出3×3的矩阵和对应b向量，核对后就能快速理解映射逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WilliamW