求解子数组奇偶索引元素和的最大差值问题

问题描述 #

给定一个长度为N的整数数组（元素可正可负），采用0-based索引规则，计算任意子数组的偶数索引元素和减去奇数索引元素和的最大差值。

示例 #

输入数组：A = [ 1, 2, -1, 4, -1, -5 ]
最优子数组为：[ 2, -1, 4, -1 ]
计算过程：

子数组偶数索引（0-based）元素和：2 + 4 = 6
子数组奇数索引（0-based）元素和：(-1) + (-1) = -2
总差值：6 - (-2) = 8

解法思路 #

我们可以通过数学变形把问题转化为前缀和最值问题，实现O(N)时间复杂度求解：

1. 差值表达式变形：假设选中的子数组对应原数组下标范围为[l, r]，子数组的偶索引和减奇索引和可以等价为：
   • 若l为偶数：preSum[r+1] - preSum[l]
   • 若l为奇数：preSum[l] - preSum[r+1]
     其中preSum是预处理的前缀和数组，preSum[0] = 0，preSum[i] = preSum[i-1] + A[i-1] * (-1) ** (i-1)
2. 后缀最值优化：从后往前遍历所有可能的起点l，维护当前位置之后前缀和的最大值和最小值，直接计算每个起点能得到的最大差值，全局记录最大值即可。

代码实现（Python） #

def max_even_minus_odd_diff(arr):
    n = len(arr)
    pre_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        pre_sum[i] = pre_sum[i-1] + arr[i-1] * ((-1) ** (i-1))
    
    max_suffix = pre_sum[-1]
    min_suffix = pre_sum[-1]
    max_diff = float('-inf')
    
    for l in range(n-1, -1, -1):
        if l % 2 == 0:
            current = max_suffix - pre_sum[l]
        else:
            current = pre_sum[l] - min_suffix
        if current > max_diff:
            max_diff = current
        # 更新后缀最值
        if pre_sum[l] > max_suffix:
            max_suffix = pre_sum[l]
        if pre_sum[l] < min_suffix:
            min_suffix = pre_sum[l]
    return max_diff

# 测试示例
A = [1,2,-1,4,-1,-5]
print(max_even_minus_odd_diff(A)) # 输出8

复杂度分析 #

• 时间复杂度：O(N)，仅需两次线性遍历数组
• 空间复杂度：O(N)，存储前缀和数组，若进一步优化可将空间复杂度降为O(1)，无需存储完整前缀和数组，边遍历边计算即可

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parth Pratim Chatterjee