实数集四类拓扑的包含关系判定及拓扑大小比较问题

以下判断默认「拓扑A包含拓扑B」指B的所有开集均为A的开集，即集合包含关系B⊆A，也可称A比B更细。

T1：实数标准拓扑 #

• 包含的拓扑：T2（有限补拓扑）、T4（左无界右开区间生成拓扑）
• 不包含的拓扑：T3（下限拓扑）
• 推导依据：标准拓扑基为开区间(a,b)，有限补拓扑的开集都是标准拓扑下的开集（有限个单点的补集为标准开集）；T4的基元素(-∞,a)本身就是标准开集；而T3的基元素(a,b]不是标准拓扑的开集，因此T1不包含T3。

T2：有限补拓扑 #

• 包含的拓扑：无
• 不包含的拓扑：T1、T3、T4
• 推导依据：T1的开区间(0,1)补集为无限集，不属于有限补开集；T4的基元素(-∞,a)补集为无限集，也不属于有限补开集；T3的基元素(a,b]补集同样为无限集，因此T2不包含其余任意拓扑。

T3：下限拓扑（Sorgenfrey直线拓扑，基为(a,b]） #

• 包含的拓扑：T1、T2、T4
• 不包含的拓扑：无
• 推导依据：标准开区间(a,b)可表示为∪_{n≥1} (a, b-1/n]，属于T3的开集，因此T1包含于T3；有限补拓扑的开集、T4的基元素都可以表示为若干(a,b]的并，因此T2、T4也都包含于T3。

T4：基为(-∞,a)的拓扑 #

• 包含的拓扑：无
• 不包含的拓扑：T1、T2、T3
• 推导依据：标准开区间(0,1)、有限补开集R\{0}、下限拓扑基元素(a,b]都无法表示为若干(-∞,a)的并，因此T4不包含其余任意拓扑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ged