Julia中不使用JuMP实现带边界约束的多变量函数优化

你当前使用的Optim库原生支持箱型边界约束，无需引入JuMP等第三方建模库，以下是两种可直接运行的实现方式：

方法1：使用Optim原生Fminbox约束适配（推荐） #

Fminbox是Optim内置的箱型约束包装器，可以直接搭配你原来用的BFGS算法使用，无需额外引入其他依赖：

using Optim

# 保留你原有的目标函数
fmin(x, a) = (1.0 - x[1])^a + 100.0 * (x[2] - x[1]^2)^a

# 定义变量边界，若需要严格满足2<x[1]<5、4<x[2]<10，可微调为lower = [2.0+eps(), 4.0+eps()]、upper = [5.0-eps(),10.0-eps()]
lower = [2.0, 4.0]
upper = [5.0, 10.0]

# 仅需在原有调用基础上增加边界参数、用Fminbox包装BFGS算法即可
# 初始点如果不在可行域内，Optim会自动投影到边界范围内，无需额外调整
r = optimize(x->fmin(x, 2), lower, upper, zeros(2), Fminbox(BFGS()))

# 输出结果
ddd = r.minimizer
dddd = r.minimum
println("最优解：", ddd)
println("最优值：", dddd)

如果你的目标函数无法提供梯度，也可以替换为无梯度算法，仅需修改算法参数为Fminbox(NelderMead())即可。

方法2：变量映射法（无约束优化功能依赖） #

如果不想使用优化库的约束相关能力，也可以通过变量变换将无约束变量映射到你需要的区间内，直接用原来的无约束BFGS求解：

using Optim

# sigmoid函数：将任意实数映射到(0,1)区间
σ(z) = 1/(1 + exp(-z))
# 自定义映射规则：把无约束变量z映射到(l, u)区间
map_to_range(z, l, u) = l + (u - l)*σ(z)

# 原目标函数
fmin(x, a) = (1.0 - x[1])^a + 100.0 * (x[2] - x[1]^2)^a

# 封装后的目标函数：自动把输入的无约束变量映射到目标区间再计算函数值
function constrained_f(z, a)
    x1 = map_to_range(z[1], 2.0, 5.0)
    x2 = map_to_range(z[2], 4.0, 10.0)
    return fmin([x1, x2], a)
end

# 直接用无约束BFGS求解，和你原来的调用逻辑完全一致
r = optimize(z->constrained_f(z, 2), zeros(2), BFGS())

# 把求解得到的无约束变量映射回原区间得到最终结果
opt_z = r.minimizer
ddd = [map_to_range(opt_z[1], 2.0, 5.0), map_to_range(opt_z[2], 4.0, 10.0)]
dddd = r.minimum
println("最优解：", ddd)
println("最优值：", dddd)

该方法天然满足严格区间约束，不依赖任何优化库的约束功能，通用性更强。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yeon Jik Lee