已知矩形两点及宽度 求解任意旋转矩形的剩余两个顶点

前置已知条件 #

• 两个黑色标注的矩形顶点坐标：记为$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$
• 矩形宽度（红色标注边长）：记为$w$
• 两点属性：$P_1$与$P_2$属于矩形的同一边或对边

场景分组求解 #

分组1：两点属于矩形同一边 #

首先计算两点连线的边参数：

1. 边向量：$\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$
2. 边长度：$L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
3. 边的单位方向向量：$\vec{u} = (\frac{x_2-x_1}{L}, \frac{y_2-y_1}{L})$
4. 垂直于该边的两组单位法向量（对应矩形向边两侧延伸的两种场景）：
   • 方向1：$\vec{n_1} = (-u_y, u_x)$
   • 方向2：$\vec{n_2} = (u_y, -u_x)$
     对应两组黄色顶点坐标：

• 沿$\vec{n_1}$延伸：$P_3 = P_1 + w \times \vec{n_1}$，$P_4 = P_2 + w \times \vec{n_1}$
• 沿$\vec{n_2}$延伸：$P_3 = P_1 + w \times \vec{n_2}$，$P_4 = P_2 + w \times \vec{n_2}$

分组2：两点属于矩形对边 #

此时两点连线为矩形对角线，先计算基础参数：

1. 对角线长度：$D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
2. 矩形另一条边长：$h = \sqrt{D^2 - w^2}$
3. 对角线中点坐标：$M(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
4. 对角线单位方向向量：$\vec{u_d} = (\frac{x_2-x_1}{D}, \frac{y_2-y_1}{D})$
5. 垂直于对角线的两组单位法向量（对应两种矩形排布场景）：
   • 方向1：$\vec{n_1} = (-u_{d,y}, u_{d,x})$
   • 方向2：$\vec{n_2} = (u_{d,y}, -u_{d,x})$
     对应两组黄色顶点坐标：

• 沿$\vec{n_1}$排布：
  $P_3 = M + \frac{h}{2} \times \vec{n_1} + \frac{w}{2} \times \vec{u_d}$
  $P_4 = M - \frac{h}{2} \times \vec{n_1} - \frac{w}{2} \times \vec{u_d}$
• 沿$\vec{n_2}$排布：
  $P_3 = M + \frac{h}{2} \times \vec{n_2} + \frac{w}{2} \times \vec{u_d}$
  $P_4 = M - \frac{h}{2} \times \vec{n_2} - \frac{w}{2} \times \vec{u_d}$

以上四种求解结果完全覆盖示意图中的所有排布场景，实际使用时可根据所需矩形朝向选择对应的法向量方向即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JM1