MATLAB使用conv()计算[0,2]区间卷积与显式计算结果不一致求解

问题复现 #

你实现了两种连续函数卷积计算方案：一种调用MATLAB内置conv()函数，另一种基于卷积定义做显式积分计算。输入为高斯分布平方根函数fx，两次自卷积运算后两种方案在[-2,2]全区间计算结果高度吻合。当调整为仅在正域[0,2]区间完成卷积，修改ymin为0、同时将显式积分函数内的积分区间xx起始点改为0后，两种方案输出差异巨大。

错误根因 #

• 内置conv()是离散线性卷积函数，你在修改为正域计算时，直接将输入序列ylist截断到[0,2]，相当于对参与卷积的两个函数做了隐式的矩形窗硬截断，缺失了x<0区间的函数值，而你显式积分时是默认x<0区间函数值为0，二者的输入条件不匹配。
• 你使用了conv(..., 'same')参数，该参数会返回和输入序列等长的卷积中心区域，原全区间计算时函数有效区域中心在0点，刚好和same返回的区域匹配；但改为正域计算后，same返回的区域已经和[0,2]区间的有效卷积结果错位，导致结果偏差。
• 你当前的fx函数没有做正域截断，x<0时仍会返回高斯分布的计算值，不符合你要求的「仅在正域完成卷积」的定义，也会带来微小误差。

修正方案 #

1. 首先修改fx函数，增加正域判断，保证x<0时输出为0，匹配正域卷积的定义：

function res = fx(x,a,b)
res = (x >= 0) .* sqrt(normpdf(x,a,b));
end

2. 替换conv的'same'参数为'full'，先计算完整的线性卷积结果，再根据采样间隔映射坐标，截取对应[0,2]区间的有效结果，避免截断误差。修改后的mat_conv1参考代码如下：

function res = mat_conv1(y,c1,c2,a,b)
dy = y(2)-y(1);
% 补前导零覆盖x<0区间，补后导零避免卷积边界截断
pad_len = length(y);
y_pad = [linspace(-2, 0, pad_len), y, linspace(2,4,pad_len)];
gx_1 = fx(y_pad/c1,a,b);
gx_2 = fx(y_pad/c2,a,b);
% 计算完整卷积
conv_full = conv(gx_1, gx_2, 'full') * dy / (c1*c2);
% 截取对应原y区间的结果
start_idx = round((0 - y_pad(1))/dy) + 1;
end_idx = start_idx + length(y) - 1;
res = conv_full(start_idx:end_idx);
end

3. 对mat_conv2做相同的逻辑修改，即可让conv()的计算结果和显式积分结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ali Pedram