使用scipy的curve_fit拟合幂律模型时参数误差过大如何解决？

问题原因 #

1. 拟合解落在参数边界上
   你设置的c0参数下界为-2，从输出结果可以看到拟合得到的c0刚好等于-2，说明最优解卡在了边界位置。而curve_fit返回的协方差矩阵是基于无约束最小二乘的局部二次近似推导的，当解落在边界上时这个假设不成立，得到的参数误差估计自然不准确。
2. 参数存在强共线性
   你的x取值仅在0.55~1.05的窄区间内，x**m在这个区间的变化幅度非常小，c * x**m + c0的组合近似于线性项加常数项，此时调整c的数值只要同步反向调整c0，就能得到几乎一致的拟合效果，两个参数高度相关，会进一步放大所有参数的误差估计值。

解决方法 #

你只需要约束0.1<=m<=0.9，其余参数的边界完全没有必要设置，放开这部分约束即可，修改后的拟合代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

def func_powerlaw(x, m, c, c0):
    return c0 + x**m * c

x = np.array([1.05, 1.0,  0.95, 0.9,  0.85, 0.8,  0.75, 0.7,  0.65, 0.6,  0.55])
y = np.array([1.26, 1.24, 1.2,  1.17, 1.1,  1.01, 0.95, 0.84, 0.75, 0.71, 0.63])
dy = np.array([0.078]*11)

# 仅保留m的约束，放开c和c0的边界
popt, pcov = curve_fit(func_powerlaw, x, y, sigma = dy, p0 = [0.3, 1, 1], 
                       bounds=[(0.1, -np.inf, -np.inf), (0.9, np.inf, np.inf)], 
                       absolute_sigma=False, maxfev=10000, method = 'trf')
perr=np.sqrt(np.diag(pcov))
print(popt, perr)

修改后运行得到的参数误差会大幅缩小，符合你对拟合精度的预期。如果后续还需要进一步降低共线性影响，可以尝试扩大x的取值范围，或者如果你的场景允许固定c0的数值，也可以直接固定该参数减少待拟合变量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者George