为何用NumPy将矩阵与其逆矩阵相乘无法得到单位矩阵？

嘿，你遇到的问题其实不是浮点舍入误差——而是你的矩阵根本没有逆矩阵！

先看你用的矩阵：

C = np.array([[5,5,5],[4,5,6],[7,8,9]])

我们可以先计算它的行列式来验证：

import numpy as np
print(np.linalg.det(C))

运行后你会得到一个非常接近0的数值（比如-2.6645352591003757e-15），这说明这是一个奇异矩阵——矩阵的行/列线性相关，不存在真正的逆矩阵。

手动计算行列式也能确认这一点：

5*(5*9 - 6*8) -5*(4*9 -6*7) +5*(4*8 -5*7)
=5*(45-48) -5*(36-42)+5*(32-35)
=5*(-3) -5*(-6)+5*(-3)
=-15 +30 -15 =0

行列式为0，矩阵自然不可逆。

那为什么np.linalg.inv(C)会返回一堆超大的数值？这是因为numpy默认不会对奇异矩阵直接报错，而是尝试进行数值计算，结果会出现严重的数值不稳定，得到的是一个没有实际意义的近似值，根本不是真正的逆矩阵，所以你用原矩阵乘它，自然得不到单位矩阵。

怎么处理这种情况？ #

如果你的场景需要对奇异矩阵做类似逆矩阵的操作，可以使用伪逆矩阵，用np.linalg.pinv(C)来计算，它是在最小二乘意义下的最优近似逆：

import numpy as np

C = np.array([[5,5,5],[4,5,6],[7,8,9]])
print("原始矩阵")
print(C)
print("伪逆矩阵")
D_pinv = np.linalg.pinv(C)
print(D_pinv)
print("原矩阵乘伪逆矩阵")
print(C.dot(D_pinv))

运行后你会得到一个投影矩阵，这是伪逆的特性——它无法让原矩阵乘后得到单位矩阵，但能满足很多近似计算的需求。

总结一下：

• 你的矩阵是奇异矩阵（行列式为0），不存在真正的逆矩阵
• np.linalg.inv对奇异矩阵的计算结果是数值不稳定的无效值，不是真正的逆
• 若需要处理奇异矩阵，使用伪逆np.linalg.pinv更合适

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chase Brumfield