依赖外部变量的被积函数最快积分计算方法是什么

以下是不依赖积分解析解的通用优化手段，按实现复杂度和加速效果排序：

1. 替换np.vectorize为批量积分接口 #

np.vectorize本质是Python级别的循环，不会带来任何加速，只是语法糖。Scipy 1.7.0以上版本提供了scipy.integrate.quad_vec接口，专门针对被积函数含额外批量参数的场景做了优化，单进程下就可以得到数倍到数十倍的加速效果。
代码示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad_vec

x = np.linspace(0,6,1000)
integrand = lambda z: z**x
# 直接对所有x批量计算积分，返回数组结果
y, err = quad_vec(integrand, 0, 1)

2. 预编译被积函数降低调用开销 #

积分过程中会成千上万次调用被积函数，Python原生函数的调用开销是性能瓶颈之一，可以用Numba的njit装饰器预编译被积函数为机器码，大幅降低单步调用开销。
代码示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from numba import njit

# 预编译被积函数
@njit
def integrand(z, x):
    return z**x

x = np.linspace(0,6,1000)
y = np.empty_like(x)
for i in range(len(x)):
    y[i] = quad(integrand, 0, 1, args=(x[i],))[0]

如果对Numba适配度高，还可以直接使用Numba自带的积分接口，完全避开Python层的交互开销，性能会进一步提升。

3. 用向量化数值积分替代自适应积分 #

如果你的精度要求可以接受固定阶数的数值积分（比如梯形法、辛普森法、高斯求积），可以直接用Numpy广播特性一次性计算所有x对应的被积函数值，再批量做积分，速度会比自适应的quad快1~2个数量级。
代码示例（高斯勒让德求积）：

import numpy as np
from scipy.special import roots_legendre

# 预计算高斯求积的节点和权重，节点数按需调整平衡精度和速度
n_nodes = 100
z, w = roots_legendre(n_nodes)
# 节点从[-1,1]映射到[0,1]
z = (z + 1)/2
w = w/2

x = np.linspace(0,6,1000)
# 广播计算所有z,x对应的被积函数值，加权求和得到积分结果
y = (w[:, None] * (z[:, None]**x)).sum(axis=0)

4. 插值近似加速 #

如果需要计算的x采样密度很高，可以先稀疏采样x计算精确积分值，再用插值方法得到所有点的结果。在函数平滑性好的场景下，误差可以控制在极低水平，速度可以提升两个数量级以上。
代码示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.interpolate import interp1d

# 稀疏采样x计算精确积分
x_sparse = np.linspace(0,6,100)
y_sparse = np.array([quad(lambda z,x: z**x, 0,1, args=(xi,))[0] for xi in x_sparse])
# 构建插值函数
interp_func = interp1d(x_sparse, y_sparse, kind='cubic')
# 插值得到所有高密度x的结果
x_dense = np.linspace(0,6,1000)
y = interp_func(x_dense)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The One