为何回归线计算得出的2012年预测值与图表显示结果不一致

问题背景 #

你提供的原始观测数据如下：
2007: 2138255.39、2008: 1670868.97、2009: 1416132.03、2010: 1567135.26、2011: 1736225.1
需要预测2012年对应的回归值，出现手算结果为负、图表估算值大于2000000的偏差，核心原因有以下几类：

偏差原因 #

• 模型选择和图表不一致
  现有数据的趋势是2007-2009年持续下降，2009年触底后回升，是典型的U型二次曲线趋势，你看到的图表里大概率用的是二次多项式回归拟合，预测2012年数值自然会延续上升趋势突破200万。如果你误选了一元线性回归拟合，会把先降后升的趋势强行拟合成整体向下的直线，预测2012年数值会继续下跌，甚至出现负数结果。
• 自变量未做缩放导致计算误差
  如果你直接用2007、2008这类四位数的年份原值作为x计算回归参数，求和时的数值量级过大，很容易出现浮点精度误差、手算求和错误，最终得到完全失真的斜率和截距项，代入2012计算就会出现异常的负数结果。
  正确的预处理方式是把年份做偏移缩放，比如令x = 年份 - 2007，将自变量转换为0、1、2、3、4的小数值后再计算，误差会大幅降低。
• 计算过程步骤错误
  回归计算涉及x求和、y求和、x平方求和、xy交叉求和等多步运算，任意一步加总出错、公式误用（比如混淆样本/总体统计量参数、漏乘样本量），都会导致最终系数完全偏离正确值。

验证参考 #

用偏移后的x值[0,1,2,3,4]做二次多项式拟合，计算得到2012年（对应x=5）的预测值确实在200万以上，和图表显示结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amy