循环二进制数转十进制：如何将0.10(₁)₂表示为分数a/b？

嘿，你这里踩了个很典型的坑——把二进制运算当成十进制来算了！2y - y的结果可不是十进制的91，得按二进制的规则来运算才行。下面给你两种清晰的正确解法：

方法一：二进制位运算推导 #

• 设 x = 0.10(₁)₂，也就是 0.1011111...₂（末尾无限重复的1是循环节）。
• 先把小数点移到循环节的起始位置：循环节从第3位小数开始，我们乘以 2² = 4（对应二进制的100），得到：
  4x = 10.(₁)₂（即二进制的10.1111...）
• 令 y = 10.(₁)₂，因为循环节长度是1，我们乘以进制数2，得到：
  2y = 101.(₁)₂（即二进制的101.1111...）
• 用 2y - y 抵消循环部分：
  二进制减法中，小数部分的循环(₁)₂完全抵消，整数部分101₂ - 10₂ = 11₂，所以2y - y = 11₂
• 把11₂转换成十进制是3，因此y = 3。代入4x = y，可得x = 3/4。

方法二：十进制等比数列求和推导 #

我们也可以把二进制数拆成十进制分数的和，直接计算：

• 把0.10(₁)₂拆分为：0.1₂ + 0.001₂ + 0.0001₂ + 0.00001₂ + ...
• 转换成十进制分数：
  • 0.1₂ = 1/2
  • 0.001₂ = 1/8，0.0001₂ = 1/16，0.00001₂ = 1/32……这是首项为1/8、公比为1/2的等比数列
• 用等比数列求和公式S = 首项 / (1 - 公比)，计算循环部分的和：(1/8) / (1 - 1/2) = 1/4
• 加上前面的1/2，总和为：1/2 + 1/4 = 3/4

两种方法都得到了相同的结果，说明这个答案是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者crytek12