高精度运算场景下Halley迭代法是否在部分情况优于Newton迭代法？

首先直接给结论：Halley迭代在足够高的精度场景下表现确实优于纯Newton迭代，而二者结合的混合方案是目前工业界高精度运算库的通用最优解。

两种迭代的成本收益对比 #

• Newton迭代（公式：x_{n+1} = x_n * (2 - a * x_n)）：每次迭代需要2次高精度乘法，收敛速度为二次，即每次迭代有效位数翻倍。如果目标精度为N位，所需迭代次数为log₂(N)，总乘法开销约为2 * log₂(N)。
• Halley迭代（公式：x_{n+1} = x_n * (3 - a * x_n * (3 - a * x_n / 2))）：每次迭代需要3次高精度乘法，收敛速度为三次，即每次迭代有效位数翻三倍。如果目标精度为N位，所需迭代次数为log₃(N)，总乘法开销约为3 * log₃(N)。

你可以简单算一下：当目标精度为100万位时，Newton需要约20次迭代、40次乘法运算；Halley只需要约13次迭代、39次乘法运算，反而开销更低。精度越高，Halley的收敛速度优势越明显，超过1000位精度的场景下Halley通常就已经能跑赢纯Newton实现。

混合方案的优势 #

实际工业实现中几乎都采用「先Newton后Halley」的混合方案，核心原因有两个：

1. 初始值精度通常很低（一般只有几位到十几位精度），前期用Newton迭代拉精度的单位开销远低于Halley，少量几次迭代就能把精度提升到上百位数级，成本极低。
2. 精度达到上百位之后切换到Halley，刚好能吃到三次收敛的红利，又避开了前期低精度下Halley额外乘法开销的劣势。

再配合迭代过程中「按需精度计算」的优化（每次迭代只计算当前步骤需要的有效位数，不需要一开始就跑全精度运算），混合方案的整体效率比纯用任意一种迭代要高15%~30%，是目前GMP、MPFR等主流高精度库的标准实现。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者FusRoDah