Monte Carlo模拟积分中判断随机点是否位于绘制图形区域的方法

判定的核心逻辑非常简单：你要计算的积分本质是被积函数曲线和积分边界围成的区域面积，只要判断随机点的y坐标落在目标区域的上下边界之间即可。下面是两种常用的实现方案：

• 方案1：直接调用被积函数实时判定（优先推荐）
  不需要依赖预先生成的绘图坐标点，生成随机点时直接将随机x值传入你定义的被积函数func，得到对应位置的函数值后直接做大小比较即可，没有精度误差、性能最高。
  对你给出的参考代码修改示例如下：

  import random
  import numpy as np
  
  def montecarlo(func, x1, y1, x2, y2):
      rectangle_area = (x2 - x1) * (y2 - y1)
      list_random_x_value = []
      list_random_y_value = []
      count_in_area = 0 # 统计落在目标区域的点数量
      sample_num = 1000 # 采样数可以调大提升精度
  
      # 生成随机点并同时做区域判定
      for i in range(sample_num):
          random_x_value = random.uniform(x1, x2)
          random_y_value = random.uniform(y1, y2)
          list_random_x_value.append(random_x_value)
          list_random_y_value.append(random_y_value)
          # 区域判定：默认计算x轴上方、func曲线下方的积分，可根据实际需求调整边界
          func_ref_y = func(random_x_value)
          if 0 <= random_y_value <= func_ref_y:
              count_in_area += 1
      
      # 积分结果计算：区域面积 * 落在区域内的点占比
      integral_result = rectangle_area * (count_in_area / sample_num)
  
      # 你原有逻辑里的绘图坐标生成可保留，用于可视化
      list_x_values = []
      list_y_values = []
      for values in np.arange(x1, x2, 0.01):
          list_x_values.append(values)
          list_y_values.append(func(values))
      
      return integral_result, list_random_x_value, list_random_y_value, list_x_values, list_y_values
  

• 方案2：基于预先生成的绘图坐标插值判定
  如果你的场景下无法直接调用被积函数，只能用已经生成的绘图坐标列表做判定，可以用线性插值的方式匹配随机x对应的近似函数值：

  # 接你原有代码中已经生成list_x_values、list_y_values、list_random_x_value、list_random_y_value的逻辑
  arr_x_plot = np.array(list_x_values)
  arr_y_plot = np.array(list_y_values)
  count_in_area = 0
  sample_num = len(list_random_x_value)
  
  for rx, ry in zip(list_random_x_value, list_random_y_value):
      # 用线性插值得到随机x对应的近似函数值
      interp_func_y = np.interp(rx, arr_x_plot, arr_y_plot)
      if 0 <= ry <= interp_func_y:
          count_in_area +=1
  
  integral_result = (x2-x1)*(y2-y1) * (count_in_area/sample_num)
  

注意：如果你的积分区域是两条曲线围成的范围，或者y轴的下限不是0，只要调整判定逻辑中的边界值即可，比如计算f(x)和g(x)（f(x)始终大于g(x)）之间的积分，判定条件改为g(rx) <= ry <= f(rx)即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gerard