已知圆半径r、切点点B、圆外点D，求两条切线交点E的计算方法

过B、D两点的圆切线交点E求解步骤 #

已知条件：半径为r的固定圆、切点B的位置、圆心O的位置、圆外点D的位置

步骤1：计算过B点的切线方程 #

• 先算半径OB的斜率：k_OB = (y_B - y_O) / (x_B - x_O)，其中(x_O,y_O)是圆心坐标，(x_B,y_B)是切点B的坐标
• 过B的切线和半径OB垂直，切线斜率为k_B切 = -1 / k_OB（如果OB是竖直线，切线就是水平线，方程为y=y_B；如果OB是水平线，切线就是竖直线，方程为x=x_B）
• 代入点斜式得到B点切线方程：y = k_B切 * (x - x_B) + y_B

步骤2：计算过D点的圆切线方程 #

• 设过D(x_D,y_D)的切线斜率为k_D切，先写出通用方程：y = k_D切 * (x - x_D) + y_D，整理为标准式：k_D切 * x - y + (y_D - k_D切 * x_D) = 0
• 圆的切线到圆心的距离等于半径r，代入点到直线距离公式：|k_D切 * x_O - y_O + y_D - k_D切 * x_D| / sqrt(k_D切² + 1) = r
• 解这个方程可以得到2个k_D切的数值，对应过D点的两条切线，根据示意图的方位选择和B点切线相交的那一条即可

步骤3：联立方程求交点E #

把步骤1、步骤2得到的两个切线方程组成二元一次方程组，求解得到的(x,y)就是E点的坐标，数值计算可以直接用计算器/Excel公式代入求解，不需要手动推导公式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex K