用递归树方法求递推式T(n)=T(n/2)+T(2n/4)+n的渐近紧界

首先先简化原式：$2n/4$等价于$n/2$，因此原递推可直接改写为$T(n) = 2T(n/2) + n$，下面结合你已完成的递归树推导继续完成后续步骤： #

步骤1：确认每层总代价规律 #

你已经算出前三层的总代价均为$n$，可推广到通用层：

• 第$k$层共有$2^k$个节点
• 每个节点对应问题规模为$n/2^{k$，单个节点的非递归代价为$n/2}k$
• 第$k$层总代价 = 节点数 × 单个节点代价 = $2^k \times \frac{n}{2^k} = n$
  所有层的非递归代价恒等于$n$。

步骤2：确认递归树总层数 #

递归终止条件是问题规模降到常数1，即$\frac{n}{2^k}=1$，解得最大层数$k=\log_2 n$，整棵树共有$\log_2 n + 1$层（从第0层根节点到第$\log_2 n$层叶节点）。

步骤3：总代价求和 #

非递归部分总代价 = 层数 × 每层代价 = $n \times (\log_2 n +1) = \Theta(n\log n)$。

步骤4：验证叶节点代价影响 #

最后一层叶节点总数为$2^{\log_2 n}=n$，每个叶节点代价为常数$\Theta(1)$，因此叶节点总代价为$\Theta(n)$，阶数低于非递归部分的$\Theta(n\log n)$，不会改变总复杂度的阶。 #

最终结论 #

该递推关系的渐近紧界为$\boldsymbol{\Theta(n\log n)}$，也可通过主定理方法直接验证该结果成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathisfun1234