为什么第二次点击按钮时，JS代码未将DOM元素内容切换为msgTwo变量的值？

你的判断条件存在逻辑错误：你直接将DOM元素对象el和字符串变量msg做等值判断，二者属于完全不同的数据类型，判断结果永远为真，因此else分支永远不会被触发。
同时HTML中的#message元素原始文本自带前后换行和空格，直接比对会出现匹配失败的问题，需要先去除空白字符。

只需修改JS部分的判断逻辑即可，HTML无需改动：

let el = document.getElementById('message');
let butt = document.getElementById('clicktodo')
let msg = 'Sign up to our Newsletter for 10% off!';
let msgTwo = 'Welcome to Our Site!';

function change() {
  // 比对元素的文本内容，trim()用于去除前后空白字符
  if (el.textContent.trim() !== msg) {
    el.textContent = msg;
  } else {
    el.textContent = msgTwo;
  }
};

butt.addEventListener('click', change);

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Equine Gate Keeper