渐近记号（Asymptotic Notation）相关性质证明求助

所有推导基于算法分析领域通用的渐近记号定义，默认f(n)、g(n)、h(n)均为正函数。

• 命题1：若f(n) = O(g(n))且f(n) = Ω(h(n))，则g(n) + h(n) = Θ(f(n))（注：原命题右侧缺失渐近记号，结合题干语境补全为Θ记号）
  结论：不成立
  反例：取f(n) = n，g(n) = n²（满足f(n) = O(g(n))），h(n) = 1（满足f(n) = Ω(h(n))）。此时g(n) + h(n) = n² + 1，显然n² + 1的增长阶远高于n，不满足n²+1 = Θ(n)，因此命题不成立。

• 命题2：若f(n) = O(g(n))且f(n) = Ω(g(n))，则(f(n))³ = Θ((g(n))³)
  结论：成立
  证明：由题设可得f(n) = Θ(g(n))，根据Θ记号定义，存在正常数c₁、c₂、n₀，当n ≥ n₀时，满足c₁·g(n) ≤ f(n) ≤ c₂·g(n)。由于所有函数为正，对不等式三边同时三次方，不等号方向不变，可得c₁³·(g(n))³ ≤ (f(n))³ ≤ c₂³·(g(n))³。取新的常数c₁' = c₁³、c₂' = c₂³，n₀保持不变，完全符合Θ记号的定义，因此命题成立。

• 命题3：若f(n) = O(g(n))且f(n) = Ω(g(n))，则(f(n))² = (g(n))²（注：原命题右侧缺失渐近记号，分两种情况判断）

  1. 若命题意指(f(n))² = Θ((g(n))²)：结论成立，证明逻辑与命题2一致，对Θ不等式两边同时平方即可得到符合Θ定义的结果。
  2. 若命题意指数值严格相等：结论不成立，反例：取f(n) = 2n，g(n) = n，满足f(n) = Θ(g(n))，但(f(n))² = 4n² ≠ n² = (g(n))²。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hadiqa Khan