沿二次贝塞尔曲线匀速移动点的高效实现方法咨询

下面是几种远快于全量预采样暴力法的实现，精度可根据需求调整：

1. 零预计算多项式近似（最快，误差可接受） #

这是性能最高的方案，不需要任何预存数据，直接单公式计算：
对于归一化的行进比例s（0代表起点，1代表终点），直接通过下式计算贝塞尔参数t：
t = s + k * s * (1 - s) * (1 - 2s)
其中k为经验修正系数，取值范围0.2~0.5，曲率越大的曲线k取越大即可。

适用场景：粒子特效、快动作动画等对匀速精度要求极低的场景，人眼几乎感知不到误差，计算量只有几次算术运算。

2. 稀疏采样线性插值（性能与精度平衡） #

相比全量预存几十上百组t和对应点位的暴力法，只需要预计算3~5组采样点即可：

• 预计算阶段：采样t=0、0.25、0.5、0.75、1共5个点，分别记录每个点对应的累计归一化弧长s
• 运行时阶段：传入需要的s值，找到相邻的两个采样点，线性插值得到对应的t，再代入贝塞尔公式计算点位即可

性能比全量采样高10倍以上，内存占用可以忽略，误差控制在2%以内，适合大多数UI动画场景。

3. 单步切线迭代（逐帧更新场景最优） #

如果是逐帧更新的移动逻辑（比如游戏内单位沿曲线移动），不需要预计算任何数据，直接实时迭代：

1. 记录当前所在的贝塞尔参数t0和当前点位
2. 计算t0处的曲线切线方向，沿切线方向移动固定步长得到临时点位
3. 用牛顿迭代法迭代1~2次，即可得到临时点位对应到曲线上的新参数t1

单帧计算量只有十次以内的算术运算，不需要查表和内存存储，适合无法提前预计算曲线的动态场景。

极端低精度可选方案 #

如果完全可以接受轻微的速度波动，直接用原生贝塞尔参数t等于行进比例s，不需要任何修正，是理论上最快的实现，仅在曲率极高的区域会有肉眼可见的变速，小尺寸、快节奏的场景下完全可用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user15455820