Two's complement（补码）整数满足哪些常规整数算术运算性质？

补码整数算术性质验证结论 #

我们首先明确判断标准：性质成立指等式两边经过补码运算后的最终截断结果相等，不要求和无界整数的数学运算结果一致。以下结论分两种场景说明：

场景1：固定N位宽硬件级补码运算（溢出默认模2^N环绕截断，无隐式类型提升） #

该场景下补码运算本质是模2^N的整数运算，模运算天然满足所有列出的算术性质，和符号无关：

• 加法交换律 a + b == b + a：完全成立
• 加法结合律 (a + b) + c == a + (b + c)：完全成立
• 乘法交换律 a * b == b * a：完全成立
• 乘法结合律 (a * b) * c == a * (b * c)：完全成立
• 乘法对加法的分配律 a * (b + c) == a * b + a * c：完全成立

场景2：常用编程语言实现 #

该场景下受语言规则限制，部分性质可能不成立：

• 加法交换律始终成立，不受符号、溢出、类型提升影响。
• 对于Java、Rust（release模式默认溢出行为）等明确定义有符号整数溢出为模2^N环绕的语言，上述所有性质均完全成立。
• C/C++中有符号整数溢出属于未定义行为，一旦触发溢出，除交换律外的其余性质都无法保证成立，编译器优化可能导致等式两边结果不一致。
• 若运算过程中存在隐式类型提升（比如8位char、16位short运算时先提升为32位int），截断时机不同可能导致结合律、分配律不成立。
• 无符号整数的运算规则是明确定义的模2^N环绕，所有上述性质均完全成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bumbread