为何任意数乘以0等于0，但0的阶乘0!却等于1？

首先纠正你给出的示例中的错误：你写的0! = 0 * 0 = 1是完全错误的逻辑，这个等式不成立，不要被误导。你提供的展开式n!=n×(n−1)×(n−2)×………×1仅适用于n≥1的场景，本身就没有覆盖n=0的情况。

0的阶乘等于1是全球数学界普遍公认的通用规则，不存在争议，所有正规数学教材、科学计算工具都遵循这个约定。我们可以从多个角度验证这个约定的合理性：

1. 基于阶乘递推关系推导 #

阶乘的核心递推公式为：
n! = n × (n-1)!（n ≥ 1）
已知1!的计算结果为1，将n=1代入递推公式可得：
1! = 1 × 0!
换算后很容易得出0! = 1的结论，这是最直接的推导逻辑。

2. 基于空乘积定义推导 #

乘法的单位元是1，数学中规定「没有任何数参与乘法运算的空乘积」结果为乘法单位元1，这个逻辑和「没有任何数参与加法运算的空和为加法单位元0」是完全一致的。
0的阶乘对应的是0个元素的全排列计数，也就是空排列，空排列仅存在1种可能，对应结果就是空乘积的取值1。

3. 基于组合数边界场景验证 #

组合数C(n,k)代表从n个元素中选取k个元素的方案总数，计算公式为：
C(n,k) = n! / (k! × (n - k)!)
当k = n时，全选元素的方案只有1种，代入公式可得：
C(n,n) = n! / (n! × 0!) = 1 / 0! = 1
只有0! = 1时，组合数公式才能在边界场景正常成立，不会出现逻辑矛盾。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lawrence E Bosumbe