求助：参考Monte Carlo卡方实现编写monte_carlo_gaussian函数

核心问题清单 #

• 高斯分布公式错误：现有gaussian函数的指数运算作用范围错误，标准正态分布概率密度公式为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x2}{2}}$，仅自然常数e参与指数运算，原代码将整个前半段表达式做指数处理，输出值完全不符合高斯分布定义。
• y轴采样范围错误：原代码y值采样范围与x轴一致为[a, b]，但高斯函数值域为$(0, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}]$（最大值约0.3989），若a为负数会采样到无效负y值，且上限远高于高斯函数最大值，采样效率极低、结果偏差大。
• 积分计算逻辑错误：蒙特卡洛投点法计算定积分的公式为「采样矩形面积 × 曲线下点的占比」，采样矩形面积为x轴区间长度$(b-a)$乘以y轴采样区间高度，原代码直接返回b * 占比不符合计算逻辑。

修正后完整代码 #

import math
import numpy as np

def gaussian(x):
    # 修正公式，仅e做指数运算
    return (1 / math.sqrt(2 * math.pi)) * (math.e ** (-x ** 2 / 2))

def under_curve(x, y):
    if 0 <= y <= gaussian(x):
        return True
    else:
        return False

def greater_than(x, a):
    return x > a

def less_than(x, b):
    return x < b

def monte_carlo_gaussian(a, b, n):
    # x采样范围保持[a, b]
    x = np.random.uniform(low=a, high=b, size=n)
    # y采样范围修正为0到高斯函数最大值
    y_max = 1 / math.sqrt(2 * math.pi)
    y = np.random.uniform(low=0.0, high=y_max, size=n)
    
    i = 0 
    ndartsunder = 0
    ndarts = 0 
    for xi in x:
        yi = y[i]
        if less_than(xi, b) and greater_than(xi, a):
            ndartsunder += 1 * under_curve(xi, yi)
            ndarts += 1
        i += 1
    prob_under_curve = ndartsunder / ndarts
    # 修正面积计算：矩形面积(宽*高) × 占比
    return (b - a) * y_max * prob_under_curve

# 测试示例：计算[-1,1]区间的积分，结果应接近0.6827
print(monte_carlo_gaussian(-1, 1, 100000))

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ashnotallyson